Resolva em \mathbb{R} as equações irracionais:
\sqrt{2 x^{2}+x-6}=x+2

Passo 1

O enunciado pede resolver em \mathbb{R} a equação irracional
\sqrt{2x^{2}+x-6}=x+2.
Para isso, vamos primeiro identificar o domínio de existência da raiz (radicando \ge0 e lado direito \ge0) e em seguida elevar ambos os lados ao quadrado para encontrar as soluções candidatas.

Passo 2

A condição de existência da raiz é
2x^{2}+x-6\ge0.
Calculando o discriminante:
\Delta=1-4\cdot2\cdot(-6)=1+48=49,
as raízes da quadrática são
x=\frac{-1\pm7}{4}\implies x=-2\quad\text{ou}\quad x=\frac{3}{2}.
Logo
2x^{2}+x-6\ge0\implies x\le-2\quad\text{ou}\quad x\ge\frac{3}{2}.
Além disso, o lado direito deve satisfazer
x+2\ge0\implies x\ge-2.
Interseccionando as duas condições, o domínio da equação é
x=-2\quad\text{ou}\quad x\ge\frac{3}{2}.

Passo 3

Elevando aos quadrados em \sqrt{2x^{2}+x-6}=x+2, obtemos
2x^{2}+x-6=(x+2)^{2}=x^{2}+4x+4.
Reorganizando, vem
x^{2}-3x-10=0.
O discriminante desta é
\Delta=(-3)^{2}-4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49,
portanto
x=\frac{3\pm7}{2}\implies x=5\quad\text{ou}\quad x=-2.

Passo 4

Verificamos agora quais soluções estão no domínio e satisfazem a equação original:
Para x=-2:
2(-2)^{2}+(-2)-6=8-2-6=0,\quad\sqrt{0}=0,\quad x+2=0,
logo vale.
Para x=5:
2\cdot25+5-6=50+5-6=49,\quad\sqrt{49}=7,\quad x+2=7,
logo também vale.
Portanto, ambas as raízes encontradas são soluções válidas.

Resposta

As soluções são x=-2 e x=5.

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