Resolva em \mathbb{R} as equações irracionais:
x+\sqrt{x-1}=13

Passo 1

O enunciado pede resolver em \mathbb{R} a equação irracional
x + \sqrt{x-1} = 13.
Vamos isolar o radical, impor as condições de existência e depois elevar ao quadrado.

Passo 2

Para existir \sqrt{x-1} precisamos de
x - 1 \ge 0
ou seja x \ge 1.
Além disso, ao isolar o radical teremos \sqrt{x-1} = 13 - x, e para ser real é necessário
13 - x \ge 0
ou seja
x \le 13.
Logo o domínio potencial de solução é
1 \le x \le 13.

Passo 3

A partir de
\sqrt{x-1} = 13 - x
dentro de 1 \le x \le 13, elevamos ao quadrado ambos os lados:
x - 1 = (13 - x)^2.
Expandindo e rearranjando, obtemos
x - 1 = x^2 - 26x + 169 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 27x + 170 = 0.

Passo 4

Resolvendo a equação quadrática \,x^2 - 27x + 170 = 0, calculamos o discriminante:
\Delta = (-27)^2 - 4\cdot1\cdot170 = 729 - 680 = 49.
Logo
x = \frac{27 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{27 \pm 7}{2},
resultando nas raízes
x_1 = 17 \quad\text{e}\quad x_2 = 10.

Passo 5

Verificamos quais raízes satisfazem a equação original e estão em 1 \le x \le 13:
  • Para x=17:
17 + \sqrt{17-1} = 17 + 4 = 21 \neq 13,
logo descarta-se.
  • Para x=10:
10 + \sqrt{10-1} = 10 + 3 = 13,
satisfaz perfeitamente.
Portanto, a única solução em \mathbb{R} é x = 10.

Resposta

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