Resolva em
as seguintes desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a desigualdade
Informações dadas:
- A incógnita é
e deve ser um número real. - A expressão envolvida contém um valor absoluto
e um termo linear . - O objetivo é encontrar todos os
que tornam a expressão estritamente negativa.
Passo 2
Lembrete didático sobre valor absoluto (para aplicar na prova): para qualquer expressão
Aqui
. Essa técnica é padrão: “abrir” o valor absoluto em duas peças e resolver a desigualdade em cada região, depois intersectar com a condição da região.]
Passo 3
Caso 1: suponha
. Isso equivale a
Neste caso
. Substituindo na desigualdade obtemos
Juntando termos iguais, temos
Resolver
é uma simples inequação linear: somar
e dividir por
, lembrando de não inverter o sinal ao dividir por número positivo. Assim
Para que uma solução seja válida neste caso precisamos que ao mesmo tempo
e
. Essas duas condições são incompatíveis porque
Logo, o Caso 1 não fornece soluções.
Passo 4
Caso 2: suponha
. Isso equivale a
Neste caso
. Substituindo na desigualdade obtemos
Juntando termos iguais, resulta
Resolver
é também simples: subtrair
e multiplicar por
(invertendo o sinal da desigualdade), ou reorganizar para
Para ser válido neste caso precisamos que
e
simultaneamente. Essas condições também são incompatíveis porque
Logo, o Caso 2 também não fornece soluções.
Passo 5
Verificação no ponto limite
(apenas para checar): em
tem-se
e
. Portanto
não satisfaz a desigualdade estrita (ficaria positivo), confirmando que não há solução escondida na fronteira.
Passo 6
Como os dois casos possíveis não produziram nenhum
que satisfaça a desigualdade, concluímos que a desigualdade não tem solução real.