Resolva em \mathbb{R} as seguintes desigualdades.
|3 x-4|+2 x+1<0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a desigualdade
|3x-4|+2x+1<0.
Informações dadas:
  • A incógnita é x e deve ser um número real.
  • A expressão envolvida contém um valor absoluto |3x-4| e um termo linear 2x+1.
  • O objetivo é encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a expressão estritamente negativa.

Passo 2

Lembrete didático sobre valor absoluto (para aplicar na prova): para qualquer expressão u\), \[|u| = \begin{cases} u, & \text{se } u\ge 0,\\[4pt] -u, & \text{se } u<0. \end{cases}
Aqui u=3x-4\]. Portanto vamos dividir a resolução em dois casos conforme o sinal de \(3x-4. Essa técnica é padrão: “abrir” o valor absoluto em duas peças e resolver a desigualdade em cada região, depois intersectar com a condição da região.]

Passo 3

Caso 1: suponha 3x-4\ge 0. Isso equivale a
x\ge \frac{4}{3}.
Neste caso |3x-4|=3x-4. Substituindo na desigualdade obtemos
3x-4+2x+1<0.
Juntando termos iguais, temos
5x-3<0.
Resolver 5x-3<0 é uma simples inequação linear: somar 3 e dividir por 5, lembrando de não inverter o sinal ao dividir por número positivo. Assim
5x<3 \quad\Rightarrow\quad x<\frac{3}{5}.
Para que uma solução seja válida neste caso precisamos que ao mesmo tempo x\ge \dfrac{4}{3} e x<\dfrac{3}{5}. Essas duas condições são incompatíveis porque
\frac{4}{3}>\frac{3}{5}.
Logo, o Caso 1 não fornece soluções.

Passo 4

Caso 2: suponha 3x-4<0. Isso equivale a
x<\frac{4}{3}.
Neste caso |3x-4|=-(3x-4)=4-3x. Substituindo na desigualdade obtemos
4-3x+2x+1<0.
Juntando termos iguais, resulta
5-x<0.
Resolver 5-x<0 é também simples: subtrair 5 e multiplicar por -1 (invertendo o sinal da desigualdade), ou reorganizar para
-x< -5 \quad\Rightarrow\quad x>5.
Para ser válido neste caso precisamos que x<\dfrac{4}{3} e x>5 simultaneamente. Essas condições também são incompatíveis porque
5>\frac{4}{3}.
Logo, o Caso 2 também não fornece soluções.

Passo 5

Verificação no ponto limite x=\dfrac{4}{3} (apenas para checar): em x=\dfrac{4}{3} tem-se |3x-4|=0 e 2x+1=2\cdot\dfrac{4}{3}+1=\dfrac{8}{3}+1=\dfrac{11}{3}>0. Portanto x=\dfrac{4}{3} não satisfaz a desigualdade estrita (ficaria positivo), confirmando que não há solução escondida na fronteira.

Passo 6

Como os dois casos possíveis não produziram nenhum x\in\mathbb{R} que satisfaça a desigualdade, concluímos que a desigualdade não tem solução real.

Resposta

\varnothing

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