Resolva em
as seguintes desigualdades.
Passo 1
O enunciado pede para resolver em
a desigualdade
Informações dadas e o que se pede:
- A incógnita é
e deve ser um número real. - A desigualdade envolve valores absolutos de expressões lineares:
e . - Deve-se encontrar todos os
que tornam a desigualdade verdadeira.
Passo 2
Estratégia (explicação didática do porquê): os valores absolutos mudam de expressão quando seus argumentos mudam de sinal. Então é natural dividir a reta real nos pontos onde
e
, ou seja, nos pontos
e
. Em cada intervalo entre esses pontos substitui-se
pela expressão adequada (positiva ou negativa) e resolve-se a desigualdade linear resultante. Esse procedimento funciona porque por definição:
Passo 3
Intervalo 1:
.
- Aqui
e também . Portanto
Substituindo na desigualdade:
Calcule passo a passo:
Isto é equivalente a
. Mas lembrando a hipótese deste caso (
), a solução válida neste intervalo é
Portanto, do primeiro caso obtemos a parte
.
Passo 4
Intervalo 2:
.
- Aqui
e . Então
Substituindo:
Calcule:
Devemos intersectar essa condição com a hipótese do caso
. Assim a solução neste intervalo é
ou seja o intervalo
.
Passo 5
Intervalo 3:
.
- Aqui
e . Então
Substituindo:
Calcule:
Intersecionando com a hipótese
obtemos
ou seja o intervalo
.
Passo 6
Juntando as soluções dos três casos:
- Do Passo 3:
. - Do Passo 4:
. - Do Passo 5:
.
Note que
. Portanto a união total das soluções é
Verificações rápidas nos pontos limites (para garantir que os pontos de fronteira são tratados corretamente):
-
: e é falso → não entra. -
: e é falso → não entra. -
: e é falso → não entra. - Um valor interno por exemplo
(não solução): e falso. - Um valor interno por exemplo
(solução): e verdadeiro.
Tudo consistente com a união encontrada.