Resolva em \mathbb{R} as seguintes desigualdades.
|x+2|-|x-3|>x

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a desigualdade
|x+2|-|x-3|>x.
Informações dadas e o que se pede:
  • A incógnita é x e deve ser um número real.
  • A desigualdade envolve valores absolutos de expressões lineares: |x+2| e |x-3|.
  • Deve-se encontrar todos os x\in\mathbb{R} que tornam a desigualdade verdadeira.

Passo 2

Estratégia (explicação didática do porquê): os valores absolutos mudam de expressão quando seus argumentos mudam de sinal. Então é natural dividir a reta real nos pontos onde x+2=0 e x-3=0, ou seja, nos pontos x=-2 e x=3. Em cada intervalo entre esses pontos substitui-se |\cdot| pela expressão adequada (positiva ou negativa) e resolve-se a desigualdade linear resultante. Esse procedimento funciona porque por definição:
|y|=\begin{cases} y,&\text{se }y\ge 0,\\[4pt] -y,&\text{se }y<0. \end{cases}]

Passo 3

Intervalo 1: x< -2.
  • Aqui x+2<0 e também x-3<0. Portanto
|x+2|=-(x+2)=-x-2,\qquad |x-3|=-(x-3)=-x+3.
Substituindo na desigualdade:
(-x-2)-(-x+3)>x.
Calcule passo a passo:
(-x-2)+x-3>x,
-5>x.
Isto é equivalente a x<-5. Mas lembrando a hipótese deste caso ( x<-2), a solução válida neste intervalo é
x<-5.
Portanto, do primeiro caso obtemos a parte (-\infty,-5).

Passo 4

Intervalo 2: -2\le x<3.
  • Aqui x+2\ge0 e x-3<0. Então
|x+2|=x+2,\qquad |x-3|=-(x-3)=-x+3.
Substituindo:
(x+2)-(-x+3)>x.
Calcule:
x+2+x-3>x,
2x-1> x,
x-1>0,
x>1.
Devemos intersectar essa condição com a hipótese do caso -2\le x<3. Assim a solução neste intervalo é
1<x<3,
ou seja o intervalo (1,3).

Passo 5

Intervalo 3: x\ge 3.
  • Aqui x+2\ge0 e x-3\ge0. Então
|x+2|=x+2,\qquad |x-3|=x-3.
Substituindo:
(x+2)-(x-3)>x.
Calcule:
x+2-x+3> x,
5> x,
x<5.
Intersecionando com a hipótese x\ge 3 obtemos
3\le x<5,
ou seja o intervalo [3,5).

Passo 6

Juntando as soluções dos três casos:
  • Do Passo 3: (-\infty,-5).
  • Do Passo 4: (1,3).
  • Do Passo 5: [3,5).
Note que (1,3)\cup[3,5)=(1,5). Portanto a união total das soluções é
(-\infty,-5)\cup(1,5).
Verificações rápidas nos pontos limites (para garantir que os pontos de fronteira são tratados corretamente):
  • x=-5: |-5+2|-|-5-3|=3-8=-5 e -5>-5 é falso → x=-5 não entra.
  • x=1: |1+2|-|1-3|=3-2=1 e 1>1 é falso → x=1 não entra.
  • x=5: |5+2|-|5-3|=7-2=5 e 5>5 é falso → x=5 não entra.
  • Um valor interno por exemplo x=0 (não solução): |2|-| -3|=2-3=-1 e -1>0 falso.
  • Um valor interno por exemplo x=4 (solução): |6|-|1|=6-1=5 e 5>4 verdadeiro.
Tudo consistente com a união encontrada.

Resposta

(-\infty,-5)\cup(1,5)

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