Resolva, em \mathbb{R}, os sistemas de inequações:
\left\{\begin{array}{l}5-2 x<0 \\\\ 3 x+1 \geq 4 x-5 \\\ x-3 \geq 0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} o sistema de inequações lineares
\begin{cases} 5 - 2x < 0,\\\\ 3x + 1 \ge 4x - 5,\\\ x - 3 \ge 0. \end{cases}
Para isso, vamos tratar cada inequação isoladamente, encontrar seu conjunto-solução e depois intersectar todos os conjuntos obtidos.

Passo 2

Resolver a inequação 5 - 2x < 0.
Subtraindo 5 de ambos os lados:
-2x < -5.
Dividindo por -2 e invertendo o sinal da desigualdade:
x > \frac{5}{2}.
Logo, o conjunto-solução é \bigl(\tfrac{5}{2},+\infty\bigr).

Passo 3

Resolver a inequação 3x + 1 \ge 4x - 5.
Subtraindo 3x e somando 5 em ambos os lados:
1 + 5 \ge 4x - 3x \quad\Longrightarrow\quad 6 \ge x,
ou seja, x \le 6. O conjunto-solução é (-\infty,6].

Passo 4

Resolver a inequação x - 3 \ge 0.
Somando 3 em ambos os lados: x \ge 3. O conjunto-solução é [3,+\infty).

Passo 5

Fazer a interseção dos três conjuntos:
\bigl(\tfrac{5}{2},+\infty\bigr)\;\cap\;(-\infty,6]\;\cap\;[3,+\infty) \;=\; [3,6].

Resposta

[3,6]

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