Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\frac{1+2 x}{2-x}-\frac{1-x}{4-2 x}=\frac{7 x-1}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\frac{1+2x}{2-x} \;-\;\frac{1-x}{4-2x} \;=\;\frac{7x-1}{x^{2}-4}.
Esse tipo de problema envolve frações algébricas; primeiro determinamos o domínio e depois somamos/subtraímos as frações do lado esquerdo para, finalmente, resolver a equação resultante.

Passo 2

Determinamos o domínio excluindo valores que anulam qualquer denominador:
2-x\neq0\implies x\neq2,\quad 4-2x\neq0\implies x\neq2,\quad x^{2}-4\neq0\implies x\neq2\text{ ou }x\neq-2.
Logo, o domínio é \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}.

Passo 3

Note que 4-2x=2(2-x). Para somar \frac{1+2x}{2-x} e \frac{1-x}{4-2x}=\frac{1-x}{2(2-x)}, usamos como denominador comum 2(2-x):
\frac{1+2x}{2-x}-\frac{1-x}{4-2x} =\frac{2(1+2x)-(1-x)}{2(2-x)} =\frac{2+4x-1+x}{2(2-x)} =\frac{1+5x}{2(2-x)}.

Passo 4

O lado direito pode ser reescrito usando \,x^{2}-4=(x-2)(x+2)=-(2-x)(x+2), de modo que
\frac{7x-1}{x^{2}-4} =-\frac{7x-1}{(2-x)(x+2)}.

Passo 5

Igualamos as duas expressões:
\frac{1+5x}{2(2-x)}=-\frac{7x-1}{(2-x)(x+2)}.
Como x\neq2, podemos multiplicar ambos os lados por 2(2-x)(x+2) sem gerar soluções extranhas:
(1+5x)(x+2)=-2(7x-1).
Expandindo e reagrupando:
5x^{2}+11x+2=-14x+2 \quad\Longrightarrow\quad 5x^{2}+25x=0 \quad\Longrightarrow\quad 5x(x+5)=0.

Passo 6

As raízes são x=0 e x=-5. Ambas estão no domínio \mathbb{R}\setminus\{-2,2\}, portanto são soluções válidas.

Resposta

x=0 ou x=-5

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