Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\frac{2 x^{2}-1}{x-3}=x+3+\frac{17}{x-3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\frac{2x^{2}-1}{x-3} = x+3 + \frac{17}{x-3}.
O conteúdo é resolução de equação fracionária: primeiro identificamos o domínio (para evitar divisão por zero) e depois eliminamos o denominador para obter uma equação polinomial.

Passo 2

Determinamos o domínio da equação. O denominador é x-3, logo devemos ter
x-3 \neq 0 \quad\Longrightarrow\quad x \neq 3.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados da equação por x-3 para eliminar os denominadores. Assim,
2x^{2} - 1 = (x+3)(x-3) + 17.

Passo 4

Calculamos o produto (x+3)(x-3) e somamos 17:
(x+3)(x-3) = x^2 - 9,
então a equação fica
2x^{2} - 1 = x^2 - 9 + 17 = x^2 + 8.
Isolando os termos:
2x^{2} - 1 = x^2 + 8 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - x^2 = 8 + 1 \quad\Longrightarrow\quad x^2 = 9.

Passo 5

Da equação x^2 = 9 obtemos as raízes
x = 3 \quad\text{ou}\quad x = -3.
Como x = 3 não pertence ao domínio, a única solução real válida é
x = -3.

Resposta

-3

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