Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\frac{6 x}{x^{2}-9}-\frac{3}{x-3}=\frac{x}{x+3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \R a equação
\frac{6x}{x^{2}-9}\;-\;\frac{3}{x-3}\;=\;\frac{x}{x+3}.
Trata-se de uma equação fracionária: vamos primeiro cuidar do domínio e depois manipular as frações.

Passo 2

Determinar o domínio. As expressões só existem se
x^{2}-9\neq0,\quad x-3\neq0,\quad x+3\neq0.
Como x^{2}-9=(x-3)(x+3), isso implica
x\neq3,\quad x\neq -3.
Portanto trabalharemos em \R\setminus\{-3,3\}.

Passo 3

Reescrevendo o denominador comum, temos
x^{2}-9=(x-3)(x+3),
logo a equação fica
\frac{6x}{(x-3)(x+3)} \;-\;\frac{3}{x-3} \;=\;\frac{x}{x+3}.

Passo 4

Colocamos todos os termos sobre o mesmo denominador (x-3)(x+3). Isso dá no numerador:
6x \;-\;3\,(x+3)
de um lado, e
x\,(x-3)
do outro. Assim obtemos
\frac{6x - 3(x+3)}{(x-3)(x+3)} \;=\;\frac{x(x-3)}{(x-3)(x+3)}.

Passo 5

Como x\neq3, podemos cancelar (x-3) no numerador e denominador, resultando em
6x - 3x - 9 \;=\; x^{2} -3x
ou seja
3x - 9 = x^{2} - 3x.

Passo 6

Reorganizando em forma padrão:
0 = x^{2} -3x -3x +9 \quad\Longrightarrow\quad 0 = x^{2} -6x +9 \quad\Longrightarrow\quad 0 = (x-3)^{2}.
Isso dá a raiz única \,x=3.

Passo 7

Verificação do domínio: x=3 não pertence ao domínio original x\neq3. Não há outra solução viável.

Resposta

A equação não possui solução real.

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