Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\frac{1}{4-x}-\frac{1}{2+x}=\frac{1}{4}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbf{R} a equação
\frac{1}{4-x} \;-\;\frac{1}{2+x} \;=\;\frac{1}{4}.
O conteúdo envolvido é equação racional. Vamos identificar o domínio, juntar as frações, eliminar denominadores, resolver a equação resultante e, por fim, verificar as soluções admitidas.

Passo 2

Para frações racionais, o domínio exclui valores que zerem qualquer denominador. Aqui temos denominadores 4-x e 2+x, logo
4 - x \neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq 4,
2 + x \neq 0\quad\Longrightarrow\quad x\neq -2.
Assim, só podemos aceitar soluções x\in\mathbf{R} tais que x\neq 4 e x\neq -2.

Passo 3

Vamos juntar as duas frações do lado esquerdo sobre o mesmo denominador:
\frac{1}{4-x} - \frac{1}{2+x} =\frac{(2+x) - (4 - x)}{(4-x)(2+x)} =\frac{2 + x - 4 + x}{(4-x)(2+x)} =\frac{2x - 2}{(4-x)(2+x)}.
A equação fica
\frac{2x - 2}{(4-x)(2+x)} = \frac{1}{4}.

Passo 4

Eliminamos os denominadores multiplicando ambos os lados por 4\,(4-x)(2+x):
4\,(2x - 2) = (4-x)(2+x).
No lado esquerdo temos
4\,(2x - 2) = 8x - 8,
e no lado direito
(4-x)(2+x) = 8 +2x - x^2 = -x^2 + 2x +8.
Portanto a igualdade é
8x - 8 = -x^2 + 2x + 8.

Passo 5

Reescrevendo como equação quadrática padrão, somamos x^2 e subtraímos 2x+8 em ambos os lados:
x^2 + 6x - 16 = 0.
O discriminante é
\Delta = 6^2 - 4\cdot1\cdot(-16) = 36 + 64 = 100,
logo \sqrt{\Delta}=10 e
x = \frac{-6 \pm 10}{2} \;\;\Longrightarrow\;\; x = \frac{4}{2}=2 \quad\text{ou}\quad x = \frac{-16}{2}=-8.

Passo 6

Verificamos se as soluções estão no domínio:
para x=2, 4-x=2\neq0 e 2+x=4\neq0;
para x=-8, 4-(-8)=12\neq0 e 2+(-8)=-6\neq0.
Ambas são válidas.

Resposta

As soluções em \mathbf{R} são
x = 2 \quad\text{e}\quad x = -8.

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