Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\frac{x}{x^{2}-4}-\frac{1}{x(x-2)}-\frac{4}{x(x+2)}=0

Passo 1

O enunciado pede resolver na reta real a equação racional
\frac{x}{x^{2}-4}-\frac{1}{x(x-2)}-\frac{4}{x(x+2)}=0.
O conteúdo é equação racional. Para resolver, precisamos:
  1. Determinar o domínio (valores excluídos).
  2. Colocar todas as frações sobre um denominador comum.
  3. Simplificar o numerador e resolver a equação resultante.

Passo 2

O denominador envolve x^{2}-4=(x-2)(x+2), x(x-2) e x(x+2). Logo, não podemos ter
x^{2}-4=0,\quad x=0,\quad x-2=0,\quad x+2=0
ou seja
x\neq -2,\;0,\;2.

Passo 3

O denominador comum é x(x-2)(x+2). Colocando todas as frações sobre esse mesmo denominador, obtemos
\frac{x}{(x-2)(x+2)}-\frac{1}{x(x-2)}-\frac{4}{x(x+2)} =\frac{x^{2}-\bigl(x+2\bigr)-4(x-2)}{x(x-2)(x+2)}.
Simplificando o numerador:
x^{2}-(x+2)-4(x-2) =x^{2}-x-2-4x+8 =x^{2}-5x+6.

Passo 4

Para a fração ser zero basta que o numerador seja zero:
x^{2}-5x+6=0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)(x-3)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=2\;\text{ou}\;x=3.
Como x=2 está fora do domínio, a única solução em \mathbb{R} é x=3.

Resposta

x=3

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