Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2 x^{2}}{x^{2}-1}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1}=\frac{2x^{2}}{x^{2}-1}.
O conteúdo principal é resolver equações racionais, o que envolve determinar o domínio, somar frações e resolver o polinômio resultante.

Passo 2

Determinamos o domínio excluindo os valores que anulam qualquer denominador:
x-1=0\;\Rightarrow\;x=1,\quad x+1=0\;\Rightarrow\;x=-1,\quad x^2-1=0\;\Rightarrow\;x=\pm1.
Logo o domínio é x\in\mathbb{R}\setminus\{-1,1\}.

Passo 3

Somamos as frações do lado esquerdo usando o denominador comum x^2-1:
\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+1} =\frac{(x+1)+(x-1)}{x^2-1} =\frac{2x}{x^2-1}.

Passo 4

Substituindo na equação original, obtemos
\frac{2x}{x^2-1}=\frac{2x^2}{x^2-1}.
Como x^2-1\neq0 no domínio, podemos multiplicar ambos os lados por x^2-1 sem criar soluções extraviadas, chegando a
2x=2x^2.

Passo 5

Reescrevendo e fatorando:
2x^2-2x=0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad x=0\;\text{ou}\;x=1.

Passo 6

Verificamos o domínio: x=1 não é permitido, pois estava excluído. Resta x=0.

Resposta

A solução em \mathbb{R} é \{0\}.

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