Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\sqrt{2 x-1}=x-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação com radical
\sqrt{2x-1} \;=\; x-2.
Estamos no conteúdo de equações envolvendo raízes quadradas e vamos precisar (1) estabelecer as restrições de domínio que garantem o radical bem definido e não-negativo e (2) isolar o radical e elevar ambos os lados ao quadrado, lembrando de checar possíveis raízes extranhas.

Passo 2

Para a raiz \sqrt{2x-1} existir em \mathbb{R}, o radicando deve satisfazer
2x - 1 \ge 0
ou seja
x \ge \tfrac12.
Além disso, como \sqrt{2x-1} é sempre não-negativa, o lado direito x-2 também deve ser \ge0. Logo
x - 2 \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \ge 2.
Portanto, qualquer solução só pode vir de x\ge2.

Passo 3

Com x\ge2, podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem mudar o sinal nem introduzir dificultadores de sinal:
(\sqrt{2x-1})^2 \;=\;(x-2)^2
2x - 1 = (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4.
Reorganizando em forma de equação quadrática:
x^2 - 4x + 4 - 2x + 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 6x + 5 = 0.
Resolvendo essa quadrática ( \Delta=36 20=16),
x = \frac{6 \pm 4}{2} \quad\Longrightarrow\quad x = 5 \;\;\text{ou}\;\; x = 1.

Passo 4

Agora precisamos verificar quais dessas raízes realmente satisfazem a restrição x\ge2.
  • Para x=1, temos 1<2, portanto não vale.
  • Para x=5, temos 5\ge2 e de fato
    \sqrt{2\cdot5 - 1} = \sqrt{9} = 3 e 5 - 2 = 3.
Logo, a única solução válida é x=5.

Resposta

A solução da equação é x=5.

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