Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\sqrt{2 x+\sqrt{4 x^{2}+1}}=2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação com radical aninhado
\sqrt{2x + \sqrt{4x^2 + 1}} = 2.
O conteúdo é manipulação de radicais: vamos isolar o radical externo, elevar ao quadrado, depois isolar o interno e elevar ao quadrado de novo.

Passo 2

Elevo ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz exterior:
\bigl(\sqrt{2x + \sqrt{4x^2 + 1}}\bigr)^2 = 2^2 \quad\Longrightarrow\quad 2x + \sqrt{4x^2 + 1} = 4.

Passo 3

Isolo o radical que resta:
\sqrt{4x^2 + 1} = 4 - 2x.
Para que isso faça sentido, o lado direito deve ser não negativo:
4 - 2x \ge 0 \quad\Longrightarrow\quad x \le 2.

Passo 4

Agora elevo ao quadrado novamente para eliminar o único radical:
4x^2 + 1 = (4 - 2x)^2 = 16 - 16x + 4x^2.
Cancelando 4x^2 dos dois lados fica
1 = 16 - 16x \quad\Longrightarrow\quad 16x = 15 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{15}{16}.

Passo 5

Verifico se x = \tfrac{15}{16} satisfaz a condição x \le 2: claro que sim.
Por fim, checo na equação original:
\sqrt{2\cdot\tfrac{15}{16} + \sqrt{4\bigl(\tfrac{15}{16}\bigr)^2 + 1}} = \sqrt{\tfrac{30}{16} + \tfrac{17}{8}} = \sqrt{\tfrac{30}{16} + \tfrac{34}{16}} = \sqrt{\tfrac{64}{16}} = \sqrt{4} = 2,
então está tudo certo.

Resposta

A solução da equação em \mathbb{R} é
x = \tfrac{15}{16}.

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