Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
2 \sqrt{x^{2}-16}=4-x

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
2\sqrt{x^{2}-16} \;=\; 4 - x.
O conteúdo aplicado é equações envolvendo raízes quadradas: precisamos determinar o domínio em que a raiz está definida e em que o lado direito é não-negativo, depois elevar ao quadrado com cuidado para não introduzir soluções extraviadas.

Passo 2

Determinamos o domínio da raiz. Para que \sqrt{x^{2}-16} exista em \mathbb{R}, deve valer
x^{2}-16 \;\ge\; 0 \quad\Longrightarrow\quad |x|\;\ge\;4 \quad\Longrightarrow\quad x\le -4\quad\text{ou}\quad x\ge4.

Passo 3

Como 2\sqrt{x^{2}-16}\ge0, o lado direito também precisa ser não-negativo:
4 - x \;\ge\;0 \quad\Longrightarrow\quad x\;\le\;4.
Juntando as duas condições, temos como intervalo possível
x\le -4 \quad\text{ou}\quad x=4.

Passo 4

Agora resolvemos a equação em cada parte do domínio. Para x\le -4 ou x=4, podemos elevar ambos os lados ao quadrado:
\bigl(2\sqrt{x^{2}-16}\bigr)^{2} \;=\;(4 - x)^{2} \quad\Longrightarrow\quad 4\,(x^{2}-16) \;=\; (4-x)^{2}.
Expandindo,
4x^{2}-64 \;=\; x^{2}-8x+16 \quad\Longrightarrow\quad 3x^{2}+8x-80=0.
O discriminante é \Delta=8^{2}-4\cdot3\cdot(-80)=64+960=1024, \sqrt\Delta=32. Assim
x = \frac{-8\pm32}{2\cdot3} \;\Longrightarrow\; x_1 = \frac{24}{6}=4,\quad x_2 = \frac{-40}{6}=-\frac{20}{3}.

Passo 5

Verificamos quais soluções caem no domínio x\le-4 ou x=4:
  • x_1=4 satisfaz x=4.
  • x_2=-\tfrac{20}{3}\approx-6,67 satisfaz x\le-4.
Fazendo o teste rápido em cada uma no original confirma que elas não são extraviadas.

Resposta

As soluções em \mathbb{R} são
x = -\frac{20}{3} \quad\text{e}\quad x = 4.

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