Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\sqrt{2 x+3}=2+\sqrt{x+2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\sqrt{2x+3} \;=\; 2 \;+\; \sqrt{x+2}.
O conteúdo envolve equações com radicais: vamos primeiro impor o domínio de validade, depois isolar os radicais usando substituição e, em seguida, resolver a equação resultante.

Passo 2

Impondo domínio das raízes, temos: \sqrt{2x+3} exige 2x+3\ge 0, ou seja,
x \ge -\tfrac{3}{2},
e \sqrt{x+2} exige x+2\ge 0, ou seja,
x \ge -2.
A interseção dessas condições é
x \ge -\tfrac{3}{2}.

Passo 3

Fazemos a substituição
t = \sqrt{x+2},\quad t\ge 0,
logo
x = t^2 - 2.
No radical da esquerda aparece
\sqrt{2x+3} = \sqrt{2(t^2-2)+3} = \sqrt{2t^2 - 1},
e a equação torna-se
\sqrt{2t^2 - 1} \;=\; t + 2.

Passo 4

Elevamos ambos os lados ao quadrado (mantendo t+2\ge0, o que vale pois t\ge0):
2t^2 - 1 = (t+2)^2 = t^2 + 4t + 4.
Isolando tudo num lado,
2t^2 - 1 - t^2 - 4t - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad t^2 - 4t - 5 = 0.
As raízes dessa quadrática são
t = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 20}}{2} = \frac{4 \pm 6}{2},
isto é, t=5 ou t=-1. Como t\ge0, descartamos t=-1 e ficamos com
t = 5.

Passo 5

Voltando a x, temos
x = t^2 - 2 = 5^2 - 2 = 23.
Verificando na equação original: \sqrt{2\cdot23 + 3} = \sqrt{49} = 7 e 2 + \sqrt{23 + 2} = 2 + 5 = 7,
logo a solução é válida.

Resposta

A única solução em \mathbb{R} é
x = 23.

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