Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\sqrt{x-1}=\sqrt{x+1}-2

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\sqrt{x-1} \;=\;\sqrt{x+1}\;-\;2.
O conteúdo é resolução de equações com radicais. Para isso precisamos primeiro determinar o domínio onde as raízes quadradas estão definidas e depois isolar uma raiz para elevar ao quadrado.

Passo 2

Impondo a existência de \sqrt{x-1} temos
x-1\ge0\quad\Longrightarrow\quad x\ge1.
Além disso \sqrt{x+1} exige x+1\ge0, isto é x\ge-1. A interseção é x\ge1.

Passo 3

Num intervalo em que x\ge1, somamos 2 nos dois lados para isolar uma raiz:
\sqrt{x-1} + 2 = \sqrt{x+1}.
Agora elevamos ambos os lados ao quadrado:
\bigl(\sqrt{x-1}+2\bigr)^2 \;=\;(\sqrt{x+1})^2.

Passo 4

Desenvolvendo o lado esquerdo e simplificando:
(x-1) \;+\;4\sqrt{x-1}\;+\;4 \;=\;x+1 \quad\Longrightarrow\quad x+3 +4\sqrt{x-1}=x+1 \quad\Longrightarrow\quad 4\sqrt{x-1}=-2.
Assim
\sqrt{x-1}=-\tfrac12,
o que não pode ocorrer, pois \sqrt{x-1}\ge0 para todo x\ge1.

Passo 5

Não há valor de x no domínio que satisfaça a equação original.

Resposta

A equação não tem solução em \mathbb{R}.

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