Resolva em \mathbf{R} as seguintes equações:
\sqrt{x^{2}-3}-\sqrt{6 x+4}=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver em \mathbb{R} a equação
\sqrt{x^{2}-3}\;-\;\sqrt{6x+4}\;=\;0.
Trata-se de uma equação com radicais; vamos primeiro determinar o domínio onde ambas as raízes estão definidas.

Passo 2

As expressões sob as raízes exigem
x^{2}-3 \ge 0 \quad\text{e}\quad 6x+4 \ge 0.
A primeira desigualdade dá
x \le -\sqrt{3} \quad\text{ou}\quad x \ge \sqrt{3},
e a segunda dá
x \ge -\tfrac{2}{3}.
A interseção desses conjuntos é x \ge \sqrt{3}.

Passo 3

Para x \ge \sqrt{3} podemos igualar as raízes: \sqrt{x^{2}-3} = \sqrt{6x+4}.
Elevando ambos os lados ao quadrado, obtemos
x^{2} - 3 = 6x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x^{2} - 6x - 7 = 0.

Passo 4

Calculamos o discriminante da quadrática:
\Delta = (-6)^{2} - 4\cdot1\cdot(-7) = 36 + 28 = 64.
As raízes são
x = \frac{6 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{6 \pm 8}{2},
isto é,
x = 7 \quad\text{ou}\quad x = -1.
Verificando o domínio x \ge \sqrt{3}, rejeitamos x=-1 e mantemos x=7.

Resposta

x = 7

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