Resolva:
(\mathrm{PVI}) y^{\prime}=1-y^{2}, \quad y(0)=0.

Passo 1

Enunciado e dados: o problema é um problema de valor inicial (PVI) dado por
y' = 1 - y^{2}, \qquad y(0)=0.
O que nos pedem: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada. Informações relevantes: a derivada y' está expressa em função somente de y (não aparece x na direita).

Passo 2

Escolha do método e justificativa: como a equação tem a forma y' = g(y) (ou seja, a derivada depende apenas de y), podemos usar o método de separação de variáveis. Esse método consiste em reescrever a equação colocando todos os termos que dependem de y de um lado e os que dependem de x do outro, e então integrar ambos os lados. Aqui a separação é direta porque
\frac{dy}{dx} = 1 - y^{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{1-y^{2}} = dx.
Explico a ideia da separação: isolamos dy e dx como se fossem fatores e integramos ambos os lados. Isso funciona porque estamos tratando de uma igualdade de derivadas e podemos integrar ao longo de x.

Passo 3

Integração do lado esquerdo por frações parciais (explicando cada passo): precisamos calcular
\int \frac{dy}{1-y^{2}}.
Primeiro fazemos decomposição em frações parciais. Note que 1-y^{2}=(1-y)(1+y). Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{1-y^{2}}=\frac{A}{1-y}+\frac{B}{1+y}.
Multiplicando ambos os lados por (1-y)(1+y) obtemos
1 = A(1+y)+B(1-y).
Escolhendo y=1 vem 1=2A então A=\tfrac{1}{2}. Escolhendo y=-1 vem 1=2B então B=\tfrac{1}{2}. Portanto
\frac{1}{1-y^{2}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1+y}\right).
Agora integramos:
\int \frac{dy}{1-y^{2}}=\frac{1}{2}\int\left(\frac{1}{1-y}+\frac{1}{1+y}\right)dy.
Calcule as primitivas com cuidado: \int \frac{1}{1-y}\,dy = -\ln|1-y| porque a derivada de 1-y é -1, e \int \frac{1}{1+y}\,dy = \ln|1+y|. Logo
\int \frac{dy}{1-y^{2}}=\frac{1}{2}\big(-\ln|1-y|+\ln|1+y|\big)+C = \frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+y}{1-y}\right|+C.
Observação útil: a expressão \tfrac{1}{2}\ln\!\big(\tfrac{1+y}{1-y}\big) é a função \operatorname{atanh}(y), a inversa da função hiperbólica tangente.

Passo 4

Integração do lado direito e igualdade das integrais: integrando o lado direito obtemos
\int dx = x + C_{1}.
Igualando as primitivas (colocando constantes em uma só constante C) temos
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{1+y}{1-y}\right| = x + C.
Em termos de \operatorname{atanh} isso pode ser escrito como
\operatorname{atanh}(y) = x + C.
Isto representa a família geral de soluções implícitas.

Passo 5

Aplicando a condição inicial para determinar a constante: usamos y(0)=0. Avaliando em x=0,
\operatorname{atanh}(y(0)) = \operatorname{atanh}(0) = 0 = 0 + C,
logo C=0. Portanto a solução implícita específica é
\operatorname{atanh}(y)=x.

Passo 6

Resolver explicitamente para y e interpretar: aplicando a função tangente hiperbólica inversa (ou usando a expressão logarítmica), obtemos
y = \operatorname{tanh}(x).
Explico o que é \operatorname{tanh}: para x\in\mathbb{R},
\operatorname{tanh}(x)=\frac{e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}.
Também é útil saber que a derivada de \operatorname{tanh} é
\frac{d}{dx}\operatorname{tanh}(x)=\operatorname{sech}^{2}(x)=1-\operatorname{tanh}^{2}(x),
que é exatamente a forma da nossa equação diferencial, confirmando que a função encontrada resolve a equação.

Passo 7

Verificação direta e observações finais: substituindo y(x)=\operatorname{tanh}(x) na equação,
y'(x)=1-\operatorname{tanh}^{2}(x)=1-y^{2}(x),
e temos y(0)=\operatorname{tanh}(0)=0, então a condição inicial também é satisfeita. Note que existem também as soluções constantes y\equiv 1 e y\equiv -1 da equação y'=1-y^{2}, mas elas não satisfazem y(0)=0. Sobre existência/unicidade: a função f(y)=1-y^{2} é suave em y, logo existe e é única uma solução local para o PVI; a solução explícita \operatorname{tanh}(x) está bem definida para todo x\in\mathbb{R}, então temos solução global.

Resposta

y(x)=\operatorname{tanh}(x)

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