Enunciado e dados: o problema é um problema de valor inicial (PVI) dado por
y' = 1 - y^{2}, \qquad y(0)=0.
O que nos pedem: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial dada. Informações relevantes: a derivada y' está expressa em função somente de y (não aparece x na direita).
Passo 2
Escolha do método e justificativa: como a equação tem a forma y' = g(y) (ou seja, a derivada depende apenas de y), podemos usar o método de separação de variáveis. Esse método consiste em reescrever a equação colocando todos os termos que dependem de y de um lado e os que dependem de x do outro, e então integrar ambos os lados. Aqui a separação é direta porque
Explico a ideia da separação: isolamos dy e dx como se fossem fatores e integramos ambos os lados. Isso funciona porque estamos tratando de uma igualdade de derivadas e podemos integrar ao longo de x.
Passo 3
Integração do lado esquerdo por frações parciais (explicando cada passo): precisamos calcular
\int \frac{dy}{1-y^{2}}.
Primeiro fazemos decomposição em frações parciais. Note que 1-y^{2}=(1-y)(1+y). Procuramos constantes A e B tais que
\frac{1}{1-y^{2}}=\frac{A}{1-y}+\frac{B}{1+y}.
Multiplicando ambos os lados por (1-y)(1+y) obtemos
1 = A(1+y)+B(1-y).
Escolhendo y=1 vem 1=2A então A=\tfrac{1}{2}. Escolhendo y=-1 vem 1=2B então B=\tfrac{1}{2}. Portanto
que é exatamente a forma da nossa equação diferencial, confirmando que a função encontrada resolve a equação.
Passo 7
Verificação direta e observações finais: substituindo y(x)=\operatorname{tanh}(x) na equação,
y'(x)=1-\operatorname{tanh}^{2}(x)=1-y^{2}(x),
e temos y(0)=\operatorname{tanh}(0)=0, então a condição inicial também é satisfeita. Note que existem também as soluções constantes y\equiv 1 e y\equiv -1 da equação y'=1-y^{2}, mas elas não satisfazem y(0)=0. Sobre existência/unicidade: a função f(y)=1-y^{2} é suave em y, logo existe e é única uma solução local para o PVI; a solução explícita \operatorname{tanh}(x) está bem definida para todo x\in\mathbb{R}, então temos solução global.