O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y'=(y-1)(y+1).
Informações dadas:
A incógnita é a função y de uma variável independente (vou chamar de x).
A derivada de y em relação a x satisfaz \displaystyle \frac{dy}{dx}=(y-1)(y+1).
Não foram dadas condições iniciais — precisamos encontrar a solução geral (família de soluções) e também quaisquer soluções constantes (equilíbrios).
Passo 2
Vamos escolher o método: a equação está na forma \displaystyle \frac{dy}{dx}=f(y), ou seja, o lado direito depende apenas de y e não de x. Isso é a definição de uma equação diferencial separável (podemos separar as variáveis y e x em lados opostos). O método separável é simples e direto: dividir ambos os lados por uma expressão em y e integrar em relação a y à esquerda e em x à direita. Antes de separar, atenção: se dividirmos por algo que pode ser zero perdemos soluções; por isso primeiro identificamos soluções constantes.
Passo 3
Identificamos soluções constantes (equilíbrios): se y é constante então y'=0. Da equação (y-1)(y+1)=0 obtemos as constantes
y\equiv 1 \quad\text{e}\quad y\equiv -1
como soluções triviais. Essas duas soluções precisam ser listadas separadamente porque, no procedimento de separação, dividiríamos por (y^2-1) e perderíamos essas possibilidades.
Agora resolvemos as soluções não-constantes. Assumindo y não igual a \pm 1 localmente, separamos as variáveis:
\frac{dy}{(y-1)(y+1)} = dx.
Passo 4
Para integrar o lado esquerdo usamos frações parciais. Queremos escrever
\int \frac{1}{2}\left(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y+1}\right)dy = x + C,
onde C é constante de integração. As primitivas são logaritmos:
\frac{1}{2}\big(\ln|y-1| - \ln|y+1|\big) = x + C.
Podemos combinar os logaritmos:
\frac{1}{2}\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right| = x + C.
Passo 6
Multiplicando por 2 e exponenciando:
\ln\left|\frac{y-1}{y+1}\right| = 2x + C_1,
onde C_1=2C. Exponenciando:
\left|\frac{y-1}{y+1}\right| = e^{C_1}e^{2x}.
Definindo K=e^{C_1}>0, temos \left|\frac{y-1}{y+1}\right|=K e^{2x}. Eliminando o valor absoluto podemos escrever de forma mais geral usando uma constante C que pode ser qualquer número real (positive, negative ou zero):
\frac{y-1}{y+1} = C e^{2x},
onde C\in\mathbb{R}. Observação: C=0 dá \frac{y-1}{y+1}=0\Rightarrow y=1, que já aparece como solução constante; a solução y\equiv -1 não aparece aqui porque nesse processo dividimos por y+1.
Passo 7
Isolamos y em função de x. Partindo de
\frac{y-1}{y+1} = C e^{2x},
multiplicando em cruz:
y-1 = C e^{2x}(y+1).
Agrupando os termos em y:
y - C e^{2x}y = 1 + C e^{2x},
y(1 - C e^{2x}) = 1 + C e^{2x}.
Supondo 1 - C e^{2x}\neq 0 (caso em que a solução tem singularidade vertical), temos
y(x) = \frac{1 + C e^{2x}}{1 - C e^{2x}},
com C constante real. Essa é a forma explícita da solução geral (não-constante). Note que para C=0 obtemos y\equiv 1. Para valores de C tal que 1 - C e^{2x}=0 em algum x, a solução tem assimptota vertical nesse x; isso é normal para soluções de equações diferenciais separáveis quando a solução geral não é definida globalmente.
Passo 8
Resumo e observações didáticas finais:
Temos duas soluções constantes (equilíbrios): y\equiv 1 e y\equiv -1. Essas aparecem porque ao separar dividimos por (y^2-1) e as perdemos, então devem ser incluídas explicitamente.
A família de soluções não-constantes é dada por
y(x)=\frac{1 + C e^{2x}}{1 - C e^{2x}},
com C\in\mathbb{R}. Se quiser, essa solução também pode ser reescrita usando funções hiperbólicas (por exemplo em termos de \operatorname{tanh} ou \coth), mas não é necessário para a prova.
Sempre que resolver uma separável, lembre-se de checar soluções constantes que possam ter sido perdidas ao dividir por expressões que podem ser zero.
Resposta
y\equiv 1\ny\equiv -1\ny(x)=\dfrac{1 + C e^{2x}}{1 - C e^{2x}},\; C\in\mathbb{R}