Resolva pelo Método de Frobenius
(d)
(d)
Passo 1
Temos a equação de Sturm–Liouville
no ponto singular regular
. Vamos aplicar o método de Frobenius, ou seja, buscar soluções da forma
onde
é o expoente indicial que vamos determinar.
Passo 2
Calculamos as derivadas em série:
Substituindo em
obtemos
Agrupando as potências
e
e reindexando o termo em
, igualamos a zero o coeficiente de cada potência.
Passo 3
O termo de menor grau é o de
. Seu coeficiente dá a equação indicial:
isto é,
Passo 4
Para as potências gerais
obtemos a relação de recorrência
isto é, escrevendo
,
onde
. Note que os coeficientes de índices par e ímpar se separam, gerando duas séries independentes em cada caso.
Passo 5
- Para
temos e
Tomando
e
gera-se a série de termos pares, dando
- Para
temos e
tomando
e
gera-se a outra série dos termos pares, de modo que
Resposta
A solução geral é
onde
e
são as séries de Frobenius acima com expoentes
e
.