Resolva pelo Método de Frobenius
(d) 2 x^2 y^prime prime-x y^prime+(x^2+1) y=0

Passo 1

Temos a equação de Sturm–Liouville
2x^2y''-x,y'+(x^2+1)y=0
no ponto singular regular x=0. Vamos aplicar o método de Frobenius, ou seja, buscar soluções da forma
y(x)=sumn=0^inftyan,x^n+r, a0neq0,
onde r é o expoente indicial que vamos determinar.

Passo 2

Calculamos as derivadas em série:
y'=sumn=0^inftyan(n+r)x^n+r-1, y''=sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1)x^n+r-2
Substituindo em 2x^2y''-x,y'+(x^2+1)y=0 obtemos
2sumn=0^inftyan(n+r)(n+r-1)x^n+r -sumn=0^inftyan(n+r)x^n+r +sumn=0^inftyanx^n+r+2 +sumn=0^inftyanx^n+r=0
Agrupando as potências x^n+r e x^n+r+2 e reindexando o termo em x^n+r+2, igualamos a zero o coeficiente de cada potência.

Passo 3

O termo de menor grau é o de x^r. Seu coeficiente dá a equação indicial:
l[2r(r-1)-r+1r]a0=0 Longrightarrow 2r^2-3r+1=0 Longrightarrow r=3pm14,
isto é,
r1=1, r2=tfrac12

Passo 4

Para as potências gerais x^n+r obtemos a relação de recorrência
l[2(r+n)(r+n-1)-(r+n)+1r]an+an-2=0,
isto é, escrevendo m=r+n,
(2m^2-3m+1),an + an-2=0 Longrightarrow an=-an-2(m-1)(2m-1),
onde m=r+n. Note que os coeficientes de índices par e ímpar se separam, gerando duas séries independentes em cada caso.

Passo 5

  1. Para r1=1 temos m=1+n e
an=-an-2n,(2n+1)
Tomando a0=1 e a1=0 gera-se a série de termos pares, dando
y1(x)=xl[1 -x^22cdot5 +x^410cdot9cdot4 -cdotsr]
  1. Para r2=tfrac12 temos m=tfrac12+n e
an=-an-2l(n-tfrac12r),(2n),
tomando a0=1 e a1=0 gera-se a outra série dos termos pares, de modo que
y2(x)=x^1/2l[1 -x^2tfrac12cdot2 +x^4l(tfrac32cdot4r),l(tfrac12cdot2r) -cdotsr]

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1,y1(x)+C2,y2(x),
onde y1 e y2 são as séries de Frobenius acima com expoentes r1=1 e r2=tfrac12.

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