Resolva pelo método de variação de constantes
y^{\prime \prime}+4 y=2 \operatorname{tg} x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de variação de constantes, a equação
y'' + 4y = 2\,\tan x.
Aqui o conteúdo é resolução de EDO linear de segunda ordem não homogênea, e vamos precisar primeiro da solução geral da homogênea e depois aplicar variação de parâmetros.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 4y = 0.
Sua equação característica é r^2 + 4 = 0, com raízes r = \pm 2\,i. Logo uma base de soluções é
y_1(x) = \cos(2x), \quad y_2(x) = \sin(2x),
e a solução homogênea geral é
y_h = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x).

Passo 3

Calculamos o Wronskiano de y_1,y_2:
W = \det\begin{pmatrix} \cos(2x) & \sin(2x) \\\\ -2\sin(2x) & 2\cos(2x) \end{pmatrix} =2\bigl(\cos^2(2x)+\sin^2(2x)\bigr)=2.

Passo 4

Pelas fórmulas de variação de parâmetros, escrevemos
y_p = u_1(x)\cos(2x) + u_2(x)\sin(2x),
com
u_1' = -\frac{f(x)\,y_2}{W} = -\frac{2\tan x\;\sin(2x)}{2} = -\sin(2x)\,\tan x,
u_2' = \frac{f(x)\,y_1}{W} = \frac{2\tan x\;\cos(2x)}{2} = \cos(2x)\,\tan x.

Passo 5

Integramos u_1':
u_1(x) = -\int \sin(2x)\,\tan x \,dx = -\int 2\sin^2 x \,dx
pois \sin(2x)\tan x=2\sin x\cos x\cdot\frac{\sin x}{\cos x}=2\sin^2 x.
Usando \sin^2 x=(1-\cos(2x))/2,
u_1(x) = -\int (1-\cos(2x))\,dx = -\bigl(x - \tfrac12\sin(2x)\bigr) = -x + \tfrac12\sin(2x).

Passo 6

Agora integramos u_2':
u_2(x) = \int \cos(2x)\,\tan x \,dx = \int \frac{\cos(2x)\sin x}{\cos x}\,dx.
Como \cos(2x)=2\cos^2 x -1,
\frac{\cos(2x)\sin x}{\cos x} =2\sin x\cos x - \tan x = \sin(2x) - \tan x.
Então
u_2(x) = \int \sin(2x)\,dx \;-\;\int \tan x\,dx = -\tfrac12\cos(2x) \;-\;(-\ln\lvert\cos x\rvert) = -\tfrac12\cos(2x) + \ln\lvert\cos x\rvert.

Passo 7

Montamos a particular
y_p = u_1\cos(2x) + u_2\sin(2x) = \bigl(-x + \tfrac12\sin(2x)\bigr)\cos(2x) + \bigl(-\tfrac12\cos(2x)+\ln\lvert\cos x\rvert\bigr)\sin(2x).
Os termos em \sin(2x)\cos(2x) cancelam, restando
y_p = -x\cos(2x) + \ln\lvert\cos x\rvert\,\sin(2x).

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)\;-\;x\cos(2x)\;+\;\ln\bigl\lvert\cos x\bigr\rvert\,\sin(2x).

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