Resolva as seguintes equações nao homogenias
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}=2 \mathrm{e}^{x} ; y(1)=-1, y^{\prime}(1)=0.
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime}=0 ; y(0)=3, y^{\prime}(0)=-1, y^{\prime \prime}(0)=1

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos duas EDOs lineares com condições iniciais:
  1. A EDO não homogênea de segunda ordem
y'' - 2y' = 2e^x,
com y(1)=-1 e y'(1)=0.
2. A EDO (efetivamente homogênea) de terceira ordem
y''' - y' = 0,
com y(0)=3, y'(0)=-1 e y''(0)=1.
Para a primeira usaremos o método dos coeficientes indeterminados; para ambas, a solução geral vem da equação característica.

Passo 2

Parte homogênea da primeira:
y_h'' - 2y_h' = 0.
A equação característica é
r^2 - 2r = 0 \quad\Longrightarrow\quad r=0,\,2,
logo
y_h = C_1 + C_2 e^{2x}.

Passo 3

Propondo particular da forma y_p = A e^x, temos
y_p' = A e^x,\quad y_p'' = A e^x,
então
y_p'' - 2y_p' = A e^x - 2A e^x = -A e^x = 2e^x \quad\Longrightarrow\quad A = -2.
Logo a solução geral da primeira é
y = C_1 + C_2 e^{2x} - 2e^x.

Passo 4

Derivando,
y' = 2C_2 e^{2x} - 2e^x,
e impondo as condições em x=1\): \[\begin{cases} C_1 + C_2 e^2 - 2e = -1,\\\\ 2C_2 e^2 - 2e = 0. \end{cases}
Da segunda equação (C_2 = \tfrac{1}{e}]. Substituindo na primeira,
C_1 + e - 2e = -1 \;\Longrightarrow\; C_1 = e - 1.
Portanto
\boxed{y(x) = (e-1) + e^{2x-1} - 2e^x}.

Passo 5

Para a segunda EDO homogênea
y''' - y' = 0
a característica é
r^3 - r = r(r-1)(r+1)=0 \quad\Longrightarrow\quad r=0,\,1,\,-1,
logo a solução geral é
y = D_1 + D_2 e^x + D_3 e^{-x}.

Passo 6

Derivando,
y' = D_2 e^x - D_3 e^{-x},\quad y'' = D_2 e^x + D_3 e^{-x},
as condições em x=0\) dão \[\begin{cases} D_1 + D_2 + D_3 = 3,\\\ D_2 - D_3 = -1,\\\ D_2 + D_3 = 1. \end{cases}
Da soma das duas últimas, 2D_2=0\] ⇒ \(D_2=0, daí D_3=1 e D_1=3-1=2. Assim
\boxed{y(x) = 2 + e^{-x}}.

Resposta

Para a primeira EDO:
y(x) = (e-1) + e^{2x-1} - 2e^x.
Para a segunda EDO:
y(x) = 2 + e^{-x}.

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