Resolva as operações abaixo. Indique todos os passos usados na solução. Dê o resultado na forma polar ( \mathrm{z}= |\mathrm{z}| \angle \theta) e na forma retangular (\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{jb}).
z=\left[\left(5 \angle 20^{\circ}\right)+(-5-j 5)\right] /[(j)(3+j 7)]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
z = \frac{5\angle20^\circ \;+\;(-5 - j5)}{j\,(3 + j7)},
obtendo a forma retangular z = a + jb e a forma polar z = |z|\angle\theta. Vamos precisar das conversões entre forma polar e retangular, soma de complexos, multiplicação por j, e divisão racionalizando o denominador.

Passo 2

Converter 5\angle20^\circ para a forma retangular:
5\angle20^\circ = 5\bigl(\cos20^\circ + j\sin20^\circ\bigr) \approx 5\bigl(0{,}9397 + j\,0{,}3420\bigr) = 4{,}6985 + j\,1{,}7101.

Passo 3

Somar com -5 - j5:
4{,}6985 + j\,1{,}7101 \;+\; (-5 - j5) = -0{,}3015 \;-\; j\,3{,}2899.

Passo 4

Calcular o denominador j\,(3 + j7):
j\,(3 + j7) = j3 + j^2\,7 = j3 - 7 = -7 + j3.

Passo 5

Dividir e racionalizar:
z = \frac{-0{,}3015 - j\,3{,}2899}{-7 + j3} = \frac{(-0{,}3015 - j\,3{,}2899)\,( -7 - j3 )}{(-7)^2 + 3^2} = \frac{-7{,}7589 + j\,23{,}9339}{58} = -0{,}1338 + j\,0{,}4127.

Passo 6

Converter para forma polar calculando módulo e argumento:
|z| = \sqrt{(-0{,}1338)^2 + (0{,}4127)^2} \approx 0{,}4339, \qquad \theta = \arctan\!\biggl(\frac{0{,}4127}{-0{,}1338}\biggr) \approx 108{,}0^\circ
(tomando o quadrante II, pois a<0 e b>0).

Resposta

Forma retangular: z = -0{,}1338 + j\,0{,}4127
Forma polar: z = 0{,}4339\angle108{,}0^\circ

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