Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
(x+2)^{3}-(x-2)^{3}

Passo 1

O enunciado pede para simplificar a expressão
(x+2)^{3}-(x-2)^{3}.
Informações dadas:
  • Tem-se duas expressões cúbicas (x+2)^{3} e (x-2)^{3}.
  • O objetivo é realizar as operações algébricas e simplificar o resultado final quando possível.

Passo 2

Vamos escolher um método eficiente: usar a identidade da diferença de cubos. Esta identidade é muito útil e economiza trabalho em provas.
A identidade é
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr).
Prova rápida da identidade (para fixar a ideia): ao multiplicar a fatoração à direita obtém-se
(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr)=a^{3}+a^{2}b+ab^{2}-a^{2}b-ab^{2}-b^{3}=a^{3}-b^{3},
ou seja, os termos mistos cancelam e sobra a^{3}-b^{3}. Pronto — identidade comprovada.

Passo 3

Aplicamos a identidade com
a=x+2,\qquad b=x-2.
Primeiro calculemos a-b:
a-b=(x+2)-(x-2)=x+2-x+2=4.

Passo 4

Agora precisamos do fator \bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr). Vamos calcular cada termo separadamente.
Calcule a^{2}:
a^{2}=(x+2)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot 2+2^{2}=x^{2}+4x+4.
Calcule b^{2}:
b^{2}=(x-2)^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot(-2)+(-2)^{2}=x^{2}-4x+4.
Calcule ab:
ab=(x+2)(x-2)=x^{2}-2x+2x-4=x^{2}-4.
(ou usar a diferença de quadrados (x+2)(x-2)=x^{2}-4.)

Passo 5

Somamos os três termos dentro do parêntese:
a^{2}+ab+b^{2}=(x^{2}+4x+4)+(x^{2}-4)+(x^{2}-4x+4).
Agrupando termos semelhantes:
= (x^{2}+x^{2}+x^{2}) + (4x-4x) + (4-4+4) = 3x^{2} + 0x + 4 = 3x^{2}+4.

Passo 6

Voltando à identidade e multiplicando pelo fator a-b que encontramos:
(x+2)^{3}-(x-2)^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr)=4\bigl(3x^{2}+4\bigr).
Se preferir expandir, isso dá
4\bigl(3x^{2}+4\bigr)=12x^{2}+16.

Resposta

4(3x^{2}+4)=12x^{2}+16

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