Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
\left(x^{2}-2 x+1\right) \div(x-1)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos dá:
  • Pede dividir a expressão \left(x^{2}-2 x+1\right) por (x-1).
  • A informação dada é apenas os dois polinômios: o dividendo \left(x^{2}-2 x+1\right) e o divisor (x-1).
  • Objetivo final: encontrar o quociente (e o resto, se houver) e, quando possível, simplificar a expressão resultante.

Passo 2

Reconhecer padrões úteis: trinômio quadrado perfeito.
  • Há uma identidade algébrica muito útil para memorizar e usar em provas:
(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2},
onde a e b são quaisquer expressões algébricas.
  • Aqui podemos identificar a=x e b=1. Aplicando a identidade:
(x-1)^{2}=x^{2}-2\cdot x\cdot 1+1^{2}=x^{2}-2x+1.
  • Conclusão: o dividendo é um quadrado perfeito, isto é,
x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}.

Passo 3

Fazer a divisão usando a fatoração (cancelamento).
  • Substituindo no quociente:
\frac{x^{2}-2x+1}{x-1}=\frac{(x-1)^{2}}{x-1}.
  • Quando se tem um produto de fatores e o mesmo fator aparece no numerador e denominador, pode-se “cancelar” esse fator, desde que não se divida por zero. Assim:
\frac{(x-1)^{2}}{x-1}=x-1,\qquad \text{desde que }x-1\neq0.
  • Em termos de domínio, a igualdade simplificada vale para todos os x tais que x\neq1, porque em x=1 o divisor original é zero e a expressão original não está definida.

Passo 4

Verificação alternativa: divisão sintética (método prático em prova)
  • Para dividir um polinômio por (x-1) podemos usar divisão sintética com a raiz 1.
  • Coeficientes do dividendo x^{2}-2x+1 são 1,\,-2,\,1.
  • Processo:
    • Descer o 1 (primeiro coeficiente): sobra 1 como primeiro coeficiente do quociente.
    • Multiplicar 1 por 1 (a raiz): dá 1. Somar ao próximo coeficiente: -2+1=-1.
    • Multiplicar -1 por 1: dá -1. Somar ao próximo coeficiente: 1+(-1)=0.
  • Resultado: coeficientes do quociente (1,\,-1) que representam o polinômio x-1, e resto 0.
  • Isso confirma que a divisão dá quociente x-1 e resto 0.

Passo 5

Interpretação final e dica para prova
  • A divisão \dfrac{x^{2}-2x+1}{x-1} simplifica para x-1 (com a ressalva de que a simplificação é válida para x\neq1 porque o divisor original não pode ser zero).
  • Em provas, reconhecer trinômios quadrados perfeitos economiza tempo: sempre tente fatorar antes de partir para divisão longa.
  • Se a questão pedir quociente e resto, diga que o quociente é x-1 e o resto é 0.

Resposta

x-1

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