Resolva e, quando possível, simplifique as expressões algébricas abaixo:
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos dá:
- Pede dividir a expressão
por . - A informação dada é apenas os dois polinômios: o dividendo
e o divisor . - Objetivo final: encontrar o quociente (e o resto, se houver) e, quando possível, simplificar a expressão resultante.
Passo 2
Reconhecer padrões úteis: trinômio quadrado perfeito.
- Há uma identidade algébrica muito útil para memorizar e usar em provas:
onde
e
são quaisquer expressões algébricas.
- Aqui podemos identificar
e . Aplicando a identidade:
- Conclusão: o dividendo é um quadrado perfeito, isto é,
Passo 3
Fazer a divisão usando a fatoração (cancelamento).
- Substituindo no quociente:
- Quando se tem um produto de fatores e o mesmo fator aparece no numerador e denominador, pode-se “cancelar” esse fator, desde que não se divida por zero. Assim:
- Em termos de domínio, a igualdade simplificada vale para todos os
tais que , porque em o divisor original é zero e a expressão original não está definida.
Passo 4
Verificação alternativa: divisão sintética (método prático em prova)
- Para dividir um polinômio por
podemos usar divisão sintética com a raiz . - Coeficientes do dividendo
são . - Processo:
- Descer o
(primeiro coeficiente): sobra como primeiro coeficiente do quociente. - Multiplicar
por (a raiz): dá . Somar ao próximo coeficiente: . - Multiplicar
por : dá . Somar ao próximo coeficiente: .
- Descer o
- Resultado: coeficientes do quociente
que representam o polinômio , e resto . - Isso confirma que a divisão dá quociente
e resto .
Passo 5
Interpretação final e dica para prova
- A divisão
simplifica para (com a ressalva de que a simplificação é válida para porque o divisor original não pode ser zero). - Em provas, reconhecer trinômios quadrados perfeitos economiza tempo: sempre tente fatorar antes de partir para divisão longa.
- Se a questão pedir quociente e resto, diga que o quociente é
e o resto é .