Resolva o problema de valor inicial
d yd x=3 x^2+4 x+22(1-y)

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial dado pela equação diferencial de primeira ordem separável
dydx=3x^2+4x+22(1-y)
Precisaremos separar variáveis, integrar e aplicar a condição inicial (que aqui não foi fornecida).

Passo 2

Separe as variáveis agrupando os termos em y de um lado e em x do outro:
2(1-y),dy=(3x^2+4x+2),dx

Passo 3

Integre ambos os lados:
integral 2(1-y),dy=integral(3x^2+4x+2),dx
À esquerda temos 2y-y^2 e à direita x^3+2x^2+2x+C, onde C é a constante de integração.

Passo 4

Escreva a solução implícita reunindo os resultados da integração:
2y - y^2 = x^3 + 2x^2 + 2x + C
Ou equivalentemente:
y^2 - 2y + x^3 + 2x^2 + 2x + C = 0

Passo 5

Resolva para y explicitando a solução geral (usando o discriminante):
y = 1 pm raiz1 - x^3 - 2x^2 - 2x - C
Como não foi dada nenhuma condição inicial, não podemos determinar o valor numérico de C.

Resposta

Solução geral:
2y - y^2 = x^3 + 2x^2 + 2x + C
ou
y = 1 pm raiz1 - x^3 - 2x^2 - 2x - C,
com C indefinido por falta de condição inicial.

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