Encontre as primitivas gerais das funções dadas.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
a)
b)
c)
d)
e)
f)
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as primitivas gerais (ou antiderivadas) de seis funções. O conteúdo principal aqui é integração indefinida, usando regras de linearidade, regra da potência, integral de constantes e regra da cadeia para funções compostas.
Passo 2
Antes de mais nada, lembramos três resultados usados várias vezes:
- Linearidade:
2) Regra da potência (para):
E para :
3) Integral de constante:
Passo 3
Agora aplicamos essas regras aos itens a, b e c:
a) Para :
a) Para
b) Para
c) Para
:
Passo 4
Para o item f, usamos a regra da potência com deslocamento: seja
, então
:
Passo 5
Para os itens d e e, usamos a regra da cadeia. Se
, então
d) Para : aqui
e
, logo
. Assim
d) Para
e) Para
: aqui
e
, logo
. Assim
Resposta
a) F(x)=\frac{x^2}{2}+5x+C
b) G(x)=\sqrt{3},x+C
c) F(x)=5x-\ln|x|+C
d) G(x)=-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+C
e) F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+C
f) F(x)=\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C
b) G(x)=\sqrt{3},x+C
c) F(x)=5x-\ln|x|+C
d) G(x)=-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+C
e) F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+C
f) F(x)=\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C