Encontre as primitivas gerais das funções dadas.
a) f(x)=x+5
b) g(x)=raiz3
c) f(x)=5-1x
d) g(x)=sen(pi x)
e) f(x)=e^2 x
f) g(x)=raizx+1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as primitivas gerais (ou antiderivadas) de seis funções. O conteúdo principal aqui é integração indefinida, usando regras de linearidade, regra da potência, integral de constantes e regra da cadeia para funções compostas.

Passo 2

Antes de mais nada, lembramos três resultados usados várias vezes:
  1. Linearidade: integrall(f(x)+g(x)r),dx=integral f(x),dx+integral g(x),dx, integral k,f(x),dx=kintegral f(x),dx
    2) Regra da potência (para nneq -1):
    integral x^n,dx=x^n+1n+1+CE para n=-1: integral x^-1,dx=ln|x|+C
    3) Integral de constante a:
    integral a,dx=ax+C

Passo 3

Agora aplicamos essas regras aos itens a, b e c:
a) Para f(x)=x+5:
integral(x+5),dx=integral x,dx+integral5,dx=x^22+5x+C1
b) Para g(x)=raiz3 (constante):
integralraiz3,dx=raiz3,x+C2
c) Para f(x)=5-1x:
integrall(5-1xr)dx=5x-integral x^-1dx=5x-ln|x|+C3

Passo 4

Para o item f, usamos a regra da potência com deslocamento: seja u=x+1, então raizx+1=(x+1)^1/2:
integral(x+1)^1/2dx=(x+1)^3/23/2+C4=23(x+1)^3/2+C4

Passo 5

Para os itens d e e, usamos a regra da cadeia. Se F'(u)=f(u), então integral f(au),dx=1aF(ax)+C
d) Para g(x)=sin(pi x): aqui f(u)=sin u e u=pi x, logo F(u)=-cos u. Assim
integralsin(pi x)dx=-1picos(pi x)+C5
e) Para f(x)=e^2x: aqui f(u)=e^u e u=2x, logo F(u)=e^u. Assim
integral e^2xdx=12e^2x+C6

Resposta

a) F(x)=\frac{x^2}{2}+5x+C
b) G(x)=\sqrt{3},x+C
c) F(x)=5x-\ln|x|+C
d) G(x)=-\frac{1}{\pi}\cos(\pi x)+C
e) F(x)=\frac{1}{2}e^{2x}+C
f) F(x)=\frac{2}{3}(x+1)^{3/2}+C

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