Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l}\frac{d y}{d x}=(1-x) \cdot e^{-x} \\\ y(0)=2\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado apresenta um problema de valor inicial para uma ODE de primeira ordem:
\frac{dy}{dx} = (1 - x)\,e^{-x},\quad y(0) = 2.
Conteúdo: resolver por integração direta (encontrar uma antiderivada do lado direito) e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Calcular a antiderivada de (1 - x)e^{-x}. Escrevemos
\int (1 - x)e^{-x}\,dx = \int e^{-x}\,dx \;-\;\int x\,e^{-x}\,dx.
A primeira parcela é direta:
\int e^{-x}\,dx = -\,e^{-x} + C_1.

Passo 3

Para \displaystyle \int x\,e^{-x}\,dx, usamos integração por partes com u = x, dv = e^{-x}dx. Então du = dx e v = -e^{-x}. Logo
\int x\,e^{-x}\,dx = u\,v - \int v\,du = -\,x\,e^{-x} - \int\bigl(-e^{-x}\bigr)\,dx = -x\,e^{-x} + \int e^{-x}\,dx = -x\,e^{-x} - e^{-x} + C_2 = -e^{-x}(x+1) + C_2.

Passo 4

Voltando à integral original:
\int (1 - x)e^{-x}\,dx = \bigl(-e^{-x}\bigr)\;-\;\bigl[-e^{-x}(x+1)\bigr] + C = -e^{-x} + e^{-x}(x+1) + C = x\,e^{-x} + C.
Portanto a solução geral da ODE é
y(x) = x\,e^{-x} + C.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(0)=2:
y(0) = 0\cdot e^{0} + C = C = 2.
Logo a solução particular que satisfaz y(0)=2 é
y(x) = x\,e^{-x} + 2.

Resposta

y(x) = x\,e^{-x} + 2.

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