1. Resolva o problema de valor inicial y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=f(t), y(0)=2, y^{\prime}(0)=-3 para uma função f(t) arbitrária.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 4y = f(t),\quad y(0)=2,\;y'(0)=-3
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo arbitrário f(t). Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma particular via função de Green (convolução).

Passo 2

A equação homogênea associada é
y'' + 4y' + 4y = 0.
O polinômio característico é
r^2 + 4r + 4 = (r+2)^2 = 0,
logo r=-2 é raiz dupla. A solução geral da homogênea é
y_h(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-2t}.

Passo 3

Para uma particular geral podemos usar a resposta ao impulso (função de Green). O símbolo de Laplace de e^{-2t} é 1/(s+2), então
\mathcal{L}^{-1}\!\bigl\{\tfrac1{(s+2)^2}\bigr\} = t\,e^{-2t}.
Assim a solução particular é
y_p(t) = \int_{0}^{t} (t - s)\,e^{-2\,(t-s)}\,f(s)\,ds.

Passo 4

A solução geral do problema não homogêneo é
y(t) = C_1 e^{-2t} + C_2\,t\,e^{-2t} + \int_{0}^{t} (t - s)\,e^{-2\,(t-s)}\,f(s)\,ds.
Agora impomos as condições iniciais. Em t=0:
y(0) = C_1 = 2.
Para y'(t) diferenciamos
y_h'(t) = \bigl(-2C_1 + C_2 -2C_2\,t\bigr)e^{-2t},
e a derivada da integral em t=0 é zero, pois o termo de limite superior (t-s)\bigl|_{s=t}=0. Então
y'(0) = -2C_1 + C_2 = -2\cdot2 + C_2 = C_2 - 4 = -3 \;\Longrightarrow\; C_2 = 1.

Passo 5

Substituindo C_1=2 e C_2=1 na expressão geral, obtemos a solução buscada

Resposta

\boxed{ y(t) = 2\,e^{-2t} + t\,e^{-2t} + \int_{0}^{t}(t-s)\,e^{-2\,(t-s)}\,f(s)\,ds. }

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