Resolva o problema de valor inicial y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=f(t), y(0)=2, y^{\prime}(0)=-3 para uma função f(t) arbitrária.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y'' + 4y' + 4y = f(t),\quad y(0)=2,\;y'(0)=-3
Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não homogêneo arbitrário f(t). Vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma particular via função de Green (convolução).
Passo 2
A equação homogênea associada é
y'' + 4y' + 4y = 0.
O polinômio característico é
r^2 + 4r + 4 = (r+2)^2 = 0,
logo r=-2 é raiz dupla. A solução geral da homogênea é
y_h(t) = \bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{-2t}.
Passo 3
Para uma particular geral podemos usar a resposta ao impulso (função de Green). O símbolo de Laplace de e^{-2t} é 1/(s+2), então