Use transformada de Laplace para resolver os sistemas:
\left\{\begin{array}{rl}2 \frac{d y}{d t}+\frac{d z}{d t}-2 & =1 \\\ \frac{d y}{d t}+\frac{d z}{d t}-3 y-3 z & =2\end{array}, y(0)=0\right. e z(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema de EDOs
\begin{cases} 2\,\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{dz}{dt} - 2 = 1,\\\ \dfrac{dy}{dt} + \dfrac{dz}{dt} - 3y - 3z = 2, \end{cases}
com condições iniciais y(0)=0 e z(0)=0, usando transformada de Laplace. Vamos transformar cada equação em função de Y(s) e Z(s), resolver o sistema algébrico, e depois inverter para obter y(t) e z(t).

Passo 2

Aplicando a transformada de Laplace às duas equações (usando y(0)=z(0)=0 e \mathcal{L}\{1\}=1/s):
2\,\bigl[sY(s)\bigr] + \bigl[sZ(s)\bigr] = \mathcal{L}\{3\} = \frac{3}{s},
\bigl[sY(s)\bigr] + \bigl[sZ(s)\bigr] -3Y(s) -3Z(s) = \mathcal{L}\{2\}=\frac{2}{s}.
Ou seja,
2s\,Y(s) + s\,Z(s) = \frac{3}{s},
(s-3)\bigl(Y(s)+Z(s)\bigr) = \frac{2}{s}.

Passo 3

Resolvendo o sistema para Y(s) e Z(s): da primeira equação
2s\,Y(s)+s\,Z(s)=\frac{3}{s} \quad\Longrightarrow\quad 2Y(s)+Z(s)=\frac{3}{s^2} \quad\Longrightarrow\quad Z(s)=\frac{3}{s^2}-2Y(s).
Substituindo em (s-3)(Y+Z)=2/s:
(s-3)\Bigl(Y(s)+\frac{3}{s^2}-2Y(s)\Bigr)=\frac{2}{s} \;\Longrightarrow\; (s-3)\Bigl(\frac{3}{s^2}-Y(s)\Bigr)=\frac{2}{s}.
Isolando Y(s) obtém-se
Y(s)=\frac{s-9}{s^2(s-3)}, \quad Z(s)=\frac{s+9}{s^2(s-3)}.

Passo 4

Decompondo Y(s)=\dfrac{s-9}{s^2(s-3)} em frações parciais
\frac{s-9}{s^2(s-3)} =\frac{A}{s}+\frac{B}{s^2}+\frac{C}{s-3},
obtemos A=\tfrac{2}{3}, B=3 e C=-\tfrac{2}{3}. Logo
Y(s)=\frac{2/3}{s}+\frac{3}{s^2}-\frac{2/3}{s-3}.

Passo 5

Invertendo a Laplace de Y(s), temos
y(t) =\frac{2}{3}\cdot1 + 3\,t - \frac{2}{3}e^{3t} =\frac{2}{3} + 3t - \frac{2}{3}e^{3t}.

Passo 6

Decompondo Z(s)=\dfrac{s+9}{s^2(s-3)} em frações parciais
\frac{s+9}{s^2(s-3)} =\frac{A'}{s}+\frac{B'}{s^2}+\frac{C'}{s-3},
obtemos A'=-\tfrac{4}{3}, B'=-3 e C'=\tfrac{4}{3}. Assim
Z(s)=-\frac{4/3}{s}-\frac{3}{s^2}+\frac{4/3}{s-3}.

Passo 7

Invertendo a Laplace de Z(s), resulta
z(t) =-\frac{4}{3}\cdot1 - 3\,t + \frac{4}{3}e^{3t} =-\frac{4}{3} - 3t + \frac{4}{3}e^{3t}.

Resposta

y(t)=\displaystyle \frac{2}{3} + 3t - \frac{2}{3}e^{3t}, \quad z(t)=\displaystyle -\frac{4}{3} - 3t + \frac{4}{3}e^{3t}.

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