Resolva o problema de valor inicial.
f) y^{\prime}=\frac{y \cos x}{1+2 y^{2}}, \t y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' = \frac{y\cos x}{1+2y^2}, \quad y(0)=1.
Este é um caso de equação diferencial ordinária do tipo separável: podemos escrever todos os termos em y de um lado e todos os termos em x do outro para integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis escrevendo
\frac{1+2y^2}{y}\,\mathrm{d}y = \cos x\,\mathrm{d}x.
Note que \frac{1+2y^2}{y} = \frac1y + 2y.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int\Bigl(\frac1y + 2y\Bigr)\mathrm{d}y = \int \cos x\,\mathrm{d}x.
No lado esquerdo,
\int \frac1y\,\mathrm{d}y = \ln|y|, \qquad \int 2y\,\mathrm{d}y = y^2,
e no lado direito
\int \cos x\,\mathrm{d}x = \sin x + C.
Logo a primitiva geral é
\ln|y| + y^2 = \sin x + C.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(0)=1. Substituindo x=0 e y=1 em
\ln|y| + y^2 = \sin x + C
\ln(1) + 1^2 = \sin(0) + C \quad\Longrightarrow\quad 0 + 1 = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 1.

Passo 5

Substituindo C=1 obtemos a solução implícita
\ln|y| + y^2 = \sin x + 1.
Como a condição inicial fornece y(0)=1>0, podemos tirar o valor absoluto e escrever
\ln y + y^2 = \sin x + 1.

Resposta

\ln y + y^2 = \sin x + 1,
com y(0)=1.

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