Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) abaixo:
d y/d t + (1 - 2 t) y = t e^(-1) y(0) = 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um Problema de Valor Inicial (PVI) que envolve uma equação diferencial de primeira ordem:
Vamos resolver essa equação usando o método do fator integrante, que é uma técnica padrão para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem.

Passo 2

A equação diferencial está na forma padrão:
onde:
Para resolver essa equação, precisamos encontrar o fator integrante , que nos ajudará a simplificar a equação.

Passo 3

O fator integrante é dado por:
Vamos calcular esse fator:

Passo 4

Agora, multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Isso simplifica para:
Aqui, usamos a propriedade do fator integrante que permite escrever o lado esquerdo como a derivada de .

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral do lado esquerdo é direta:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Para resolver a integral do lado direito, fazemos uma substituição. Seja:
No entanto, temos apenas um na frente do expoente. Vamos ajustar a integral:
Agora, para facilitar, sabemos que a derivada de é:
Podemos usar essa informação para resolver a integral.

Passo 7

Vamos reescrever a integral:
Mas isso ainda é complicado. Em vez disso, observamos que:
Isso nos permite separar a integral:
Após simplificações, obtemos:

Passo 8

Voltando à equação original integrada:
Simplificando:

Passo 9

Agora, isolamos :
Simplificando ainda mais:

Passo 10

Aplicamos a condição inicial para encontrar a constante :
Resolvendo para :

Resposta

A solução do PVI é:

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