Resolva o problema de valor inicial (PVI) abaixo:
d/y = 6 x (y - 1)^(2 / 3), y(1) = -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O enunciado é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial ordinária (EDO) que envolve derivadas. Nosso objetivo é encontrar a função que satisfaz essa equação e passa pelo ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o tipo de equação que temos. A equação dada é separável, o que significa que podemos separar os termos que envolvem dos que envolvem . Isso facilita a resolução porque podemos integrar ambos os lados separadamente.

Passo 3

Vamos reescrever a equação de forma que todos os termos com fiquem de um lado e os com do outro:
Aqui, dividimos ambos os lados por para isolar de um lado.

Passo 4

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral do lado esquerdo será em relação a , e a do lado direito em relação a :

Passo 5

Vamos resolver as integrais separadamente. Começando pelo lado esquerdo:
Fazendo a substituição , então , temos:

Passo 6

Agora, a integral do lado direito:

Passo 7

Igualando as duas integrais e combinando as constantes de integração, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 3:
Vamos renomear simplesmente como para simplificar:

Passo 8

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de . Substituindo e na equação:
Simplificando:
Sabemos que , então:

Passo 9

Agora, substituímos de volta na equação geral:
Para isolar , elevamos ambos os lados ao cubo:
Finalmente, somamos 1 aos dois lados:

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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