Resolva o problema de valor inicial:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! O que temos aqui é uma equação diferencial de quarta ordem:
com as condições iniciais todas iguais a zero:
. Vamos precisar usar a Transformada de Laplace para resolver essa equação, já que ela envolve a função delta de Dirac, que é bem tratada nesse método.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Transformada de Laplace. É uma ferramenta que transforma equações diferenciais no domínio do tempo para o domínio da frequência, facilitando a resolução de equações complicadas. A fórmula da Transformada de Laplace para uma função
é:
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação diferencial, temos:
Sabemos que a Transformada de Laplace da derivada é:
Como todas as condições iniciais são zero, simplifica para:
porque
.
Passo 4
Agora, vamos resolver para
:
Passo 5
Precisamos simplificar
. Vamos fatorar
:
Então,
Passo 6
Vamos decompor
em frações parciais para facilitar a Transformada Inversa:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 7
Vamos achar os valores de A, B, C e D substituindo valores de
:
- Para
:
- Para
:
Para encontrar C e D, expandimos a equação:
Agrupando os termos e igualando os coeficientes, encontramos:
Passo 8
Agora, temos:
Vamos aplicar a Transformada Inversa de Laplace a cada termo:
Passo 9
Aplicando a Transformada Inversa, obtemos:
Podemos simplificar um pouco mais, se quiser:
Resposta
A solução do problema é: