Resolva os problemas de valor inicial:
com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações diferenciais que você me enviou. O enunciado nos dá duas equações com derivadas de
e
, e também nos dá valores iniciais para essas funções quando
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais lineares e matrizes, especialmente trabalhando com autovalores e autovetores.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de uma forma mais organizada. Temos:
Isso pode ser representado em forma matricial como
, onde:
Passo 3
Para resolver esse sistema, precisamos encontrar os autovalores (
) da matriz
. Os autovalores são encontrados resolvendo a equação característica:
Onde
é a matriz identidade. Calculando isso:
Passo 4
Resolvendo a equação característica:
Então, temos dois autovalores complexos:
e
.
Passo 5
Com os autovalores em mãos, a solução geral do sistema pode ser escrita usando exponenciais com parte real e funções trigonométricas para lidar com a parte imaginária. A forma geral é:
Onde
é a parte real dos autovalores e
é a parte imaginária. No nosso caso,
e
.
Passo 6
Substituindo
e
na solução geral, temos:
Aqui,
e
são vetores constantes que determinaremos usando as condições iniciais.
Passo 7
Vamos aplicar as condições iniciais
. Quando
:
Portanto,
.
Passo 8
Para encontrar
, derivamos a solução geral e aplicamos a condição inicial para as derivadas. A derivada de
é:
Aplicando
:
Substituindo na derivada:
Como
, temos:
Passo 9
Agora que encontramos
e
, substituímos de volta na solução geral:
Resposta
A solução do sistema é: