Resolva o problema de valor inicial.
a) y y^{\prime}=x^{2}, \t y(0)=2

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial
y\,y' = x^{2},\quad y(0)=2
que é uma equação diferencial de primeira ordem do tipo variáveis separáveis. Vamos separar y de x e integrar.

Passo 2

Escrevendo y'=\dfrac{dy}{dx}, temos
y\,\frac{dy}{dx} = x^{2}.
Separamos as variáveis multiplicando em cruz:
y\,dy = x^{2}\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int y\,dy = \int x^{2}\,dx
o que resulta em
\frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{3} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(0)=2. Para x=0 e y=2,
\frac{2^{2}}{2} = 0 + C \quad\Longrightarrow\quad C = 2.
Logo a solução implícita fica
\frac{y^{2}}{2} = \frac{x^{3}}{3} + 2 \quad\Longrightarrow\quad y^{2} = \frac{2x^{3}}{3} + 4.

Passo 5

Isolando y,
y(x) = \pm \sqrt{\frac{2x^{3}}{3} + 4}.
Como a condição inicial dá y(0)=2>0, escolhemos o sinal positivo.

Resposta

y(x) = \sqrt{\frac{2x^{3}}{3} + 4}.

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