Resolva o problema:
(a) sem usar transformada de Laplace
(a) sem usar transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes e condições iniciais:
O que é pedido: encontrar a solução
que satisfaça a equação e as condições iniciais, sem usar transformada de Laplace.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
Explicação do método (característica): para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em
:
Essa é uma equação quadrática comum; resolvendo:
logo as raízes são
e
. Quando as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
Explicação do método (coeficientes indeterminados): como o termo forçante é
, que é combinação de funções
e
, e nenhuma dessas é solução da homogênea (as raízes da característica não são
), fazemos a ansatz
onde
e
são constantes a determinar. Essa forma é natural porque a derivação de seno e cosseno volta para seno e cosseno, então ao substituir obteremos um sistema linear para
.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
:
Substituímos na equação diferencial (lado esquerdo):
Agora agrupamos os coeficientes de
e
. Para
:
Para
:
Como o lado direito é
(ou seja,
), igualamos os coeficientes:
Passo 5
Resolvemos o sistema linear para
e
. Da segunda equação:
Substituindo na primeira:
Calculando:
Multiplicando por
:
Então
Portanto a solução particular é
Passo 6
A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
Passo 7
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Calcule
:
Como
, obtemos
Calcule
. Derivando a solução geral:
Então em
:
Como
, obtemos
Passo 8
Resolvemos o sistema para
Multiplique a primeira equação por
. Substituindo na segunda:
Calculando:
Isolando
:
Então
Colocando em denominador comum
:
Passo 9
Substituindo
,
,
e
na solução geral, obtemos a solução final inicial-valorada: