Resolva o problema: y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=\operatorname{sen} t, y(0)=y^{\prime}(0)=0
(a) sem usar transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes e condições iniciais:
y''-6y'+8y=\operatorname{sen} t,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
O que é pedido: encontrar a solução y(t) que satisfaça a equação e as condições iniciais, sem usar transformada de Laplace.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito igual a zero):
y''-6y'+8y=0.
Explicação do método (característica): para equações lineares com coeficientes constantes, procuramos soluções da forma y=e^{rt}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica em r:
r^{2}-6r+8=0.
Essa é uma equação quadrática comum; resolvendo:
r^{2}-6r+8=(r-2)(r-4)=0
logo as raízes são r=2 e r=4. Quando as raízes são reais e distintas, a solução geral da homogênea é combinação linear das exponenciais correspondentes:
y_h(t)=C_1 e^{2t}+C_2 e^{4t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Agora procuramos uma solução particular y_p(t) da equação completa
y''-6y'+8y=\operatorname{sen} t.
Explicação do método (coeficientes indeterminados): como o termo forçante é \operatorname{sen} t, que é combinação de funções \operatorname{sen} t e \cos t, e nenhuma dessas é solução da homogênea (as raízes da característica não são \pm i), fazemos a ansatz
y_p(t)=A\operatorname{sen} t + B\cos t,
onde A e B são constantes a determinar. Essa forma é natural porque a derivação de seno e cosseno volta para seno e cosseno, então ao substituir obteremos um sistema linear para A,B.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_p:
y_p'(t)=A\cos t - B\operatorname{sen} t,
y_p''(t)=-A\operatorname{sen} t - B\cos t.
Substituímos na equação diferencial (lado esquerdo):
y_p''-6y_p'+8y_p = (-A\operatorname{sen} t - B\cos t) -6(A\cos t - B\operatorname{sen} t) +8(A\operatorname{sen} t + B\cos t).
Agora agrupamos os coeficientes de \operatorname{sen} t e \cos t. Para \operatorname{sen} t:
(-A) + 6B + 8A = 7A + 6B.
Para \cos t:
(-B) -6A + 8B = 7B - 6A.
Como o lado direito é \operatorname{sen} t (ou seja, 1\cdot\operatorname{sen} t + 0\cdot\cos t), igualamos os coeficientes:
7A + 6B = 1,
7B - 6A = 0.

Passo 5

Resolvemos o sistema linear para A e B. Da segunda equação:
7B = 6A \quad\Rightarrow\quad B=\frac{6}{7}A.
Substituindo na primeira:
7A + 6\left(\frac{6}{7}A\right)=1.
Calculando:
7A + \frac{36}{7}A = 1 \quad\Rightarrow\quad \left(7+\frac{36}{7}\right)A = 1.
Multiplicando por 7:
49A + 36A = 7 \quad\Rightarrow\quad 85A = 7 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{7}{85}.
Então
B=\frac{6}{7}A=\frac{6}{7}\cdot\frac{7}{85}=\frac{6}{85}.
Portanto a solução particular é
y_p(t)=\frac{7}{85}\operatorname{sen} t + \frac{6}{85}\cos t.

Passo 6

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=C_1 e^{2t}+C_2 e^{4t}+\frac{7}{85}\operatorname{sen} t + \frac{6}{85}\cos t.

Passo 7

Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Calcule y(0):
y(0)=C_1 + C_2 + \frac{7}{85}\operatorname{sen} 0 + \frac{6}{85}\cos 0 = C_1 + C_2 + \frac{6}{85}.
Como y(0)=0, obtemos
C_1 + C_2 + \frac{6}{85}=0 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = -\frac{6}{85}.
Calcule y'(t). Derivando a solução geral:
y'(t)=2C_1 e^{2t}+4C_2 e^{4t} + \frac{7}{85}\cos t - \frac{6}{85}\operatorname{sen} t.
Então em t=0:
y'(0)=2C_1 + 4C_2 + \frac{7}{85}\cos 0 - \frac{6}{85}\operatorname{sen} 0 = 2C_1 + 4C_2 + \frac{7}{85}.
Como y'(0)=0, obtemos
2C_1 + 4C_2 + \frac{7}{85}=0 \quad\Rightarrow\quad 2C_1 + 4C_2 = -\frac{7}{85}.

Passo 8

Resolvemos o sistema para C_1,C_2\): \[\begin{cases} C_1 + C_2 = -\dfrac{6}{85},\\[6pt] 2C_1 + 4C_2 = -\dfrac{7}{85}. \end{cases}
Multiplique a primeira equação por 2\] e subtraia da segunda, ou substitua. Aqui faço substituição: da primeira \(C_1=-\dfrac{6}{85}-C_2. Substituindo na segunda:
2\left(-\dfrac{6}{85}-C_2\right)+4C_2 = -\dfrac{7}{85}.
Calculando:
-\dfrac{12}{85} -2C_2 +4C_2 = -\dfrac{7}{85} \quad\Rightarrow\quad -\dfrac{12}{85} + 2C_2 = -\dfrac{7}{85}.
Isolando C_2:
2C_2 = -\dfrac{7}{85} + \dfrac{12}{85} = \dfrac{5}{85} = \dfrac{1}{17},
C_2 = \dfrac{1}{34}.
Então
C_1 = -\dfrac{6}{85} - \dfrac{1}{34}.
Colocando em denominador comum 170:
C_1 = -\dfrac{12}{170} - \dfrac{5}{170} = -\dfrac{17}{170} = -\dfrac{1}{10}.]

Passo 9

Substituindo C_1, C_2, A e B na solução geral, obtemos a solução final inicial-valorada:
y(t)=-\frac{1}{10}e^{2t}+\frac{1}{34}e^{4t}+\frac{7}{85}\operatorname{sen} t + \frac{6}{85}\cos t.

Resposta

y(t)=-\frac{1}{10}e^{2t}+\frac{1}{34}e^{4t}+\frac{7}{85}\operatorname{sen} t + \frac{6}{85}\cos t

Exercícios relacionados