Resolva o problema: y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+8 y=\operatorname{sen} t, y(0)=y^{\prime}(0)=0
(b) usando transformada de Laplace

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
y''-6y'+8y=\operatorname{sen} t,\qquad y(0)=0,\qquad y'(0)=0.
O que se pede: resolver a EDO (achar y(t)) usando a transformada de Laplace.

Passo 2

Rápida revisão didática da transformada de Laplace (não pule esta parte — é o ferramental que vamos usar).
  • Definição: a transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge0) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)\,dt.
  • Linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}.
  • Transformadas úteis que usaremos: \mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}(s)=\frac{1}{s^{2}+1},\qquad \mathcal{L}\{\cos t\}(s)=\frac{s}{s^{2}+1}.
  • Transformada de derivadas (importante para aplicar às condições iniciais): para y(t) com transformada \mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s), \mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-y'(0).
Essas fórmulas permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em s.

Passo 3

Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação.
Usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais y(0)=0, y'(0)=0, obtemos:
\mathcal{L}\{y''\}-6\mathcal{L}\{y'\}+8\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}.
Substituindo \mathcal{L}\{y''\}=s^{2}Y(s) e \mathcal{L}\{y'\}=sY(s) e \mathcal{L}\{\operatorname{sen} t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}, vem
s^{2}Y(s)-6sY(s)+8Y(s)=\frac{1}{s^{2}+1}.
Fatorando Y(s) no lado esquerdo:
Y(s)\bigl(s^{2}-6s+8\bigr)=\frac{1}{s^{2}+1}.

Passo 4

Isolar Y(s) e simplificar a expressão algébrica:
Y(s)=\frac{1}{(s^{2}+1)(s^{2}-6s+8)}.
Fatorizar o polinômio quadrático:
s^{2}-6s+8=(s-2)(s-4).
Logo
Y(s)=\frac{1}{(s^{2}+1)(s-2)(s-4)}.
Para inverter a transformada, fazemos decomposição em frações parciais da forma
\frac{1}{(s^{2}+1)(s-2)(s-4)}=\frac{A}{s-2}+\frac{B}{s-4}+\frac{Cs+D}{s^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por (s^{2}+1)(s-2)(s-4) obtemos a identidade
1=A(s^{2}+1)(s-4)+B(s^{2}+1)(s-2)+(Cs+D)(s-2)(s-4).

Passo 5

Determinar A,B,C,D de maneira prática (avaliando em raízes e igualando coeficientes).
  • Avaliando em s=2 (anula os termos com s-2):
    1=A\bigl(2^{2}+1\bigr)(2-4)=A\cdot5\cdot(-2)=-10A \quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{10}.
  • Avaliando em s=4:
    1=B\bigl(4^{2}+1\bigr)(4-2)=B\cdot17\cdot2=34B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{1}{34}.
  • Para C e D podemos usar comparação de coeficientes. Coeficiente de s^{3} no lado direito deve ser zero (pois o lado esquerdo é a constante 1). Expandindo os termos cúbicos, o coeficiente de s^{3} é A+B+C. Assim
    A+B+C=0\quad\Rightarrow\quad C=-(A+B).
    Substituindo A=-\dfrac{1}{10} e B=\dfrac{1}{34},
    A+B=-\frac{1}{10}+\frac{1}{34}=\frac{-17+5}{170}=-\frac{6}{85},
    então
    C=\frac{6}{85}.
  • Para D podemos avaliar a identidade em s=0 (ou igualar coeficiente constante). Em s=0:
    1=A(0^{2}+1)(0-4)+B(0^{2}+1)(0-2)+D(0-2)(0-4).
    Substituindo A e B:
    1=-4A-2B+8D.
    Isolando D:
    D=\frac{1+4A+2B}{8}.
    Calculando com os valores:
    1+4A+2B=1+4\Bigl(-\frac{1}{10}\Bigr)+2\Bigl(\frac{1}{34}\Bigr) =\frac{56}{85},
    portanto
    D=\frac{56}{85}\cdot\frac{1}{8}=\frac{7}{85}.
Resumo dos coeficientes:
A=-\frac{1}{10},\qquad B=\frac{1}{34},\qquad C=\frac{6}{85},\qquad D=\frac{7}{85}.

Passo 6

Agora escrevemos Y(s) com os coeficientes encontrados:
Y(s)=-\frac{1}{10}\cdot\frac{1}{s-2}+\frac{1}{34}\cdot\frac{1}{s-4}+\frac{\tfrac{6}{85}s+\tfrac{7}{85}}{s^{2}+1}.
Invertemos a transformada termo a termo. Lembrando que
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s-a}\right\}=e^{at},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{s}{s^{2}+1}\right\}=\cos t,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s^{2}+1}\right\}=\operatorname{sen} t,
obtemos
y(t)=-\frac{1}{10}e^{2t}+\frac{1}{34}e^{4t}+\frac{6}{85}\cos t+\frac{7}{85}\operatorname{sen} t.

Passo 7

Verificação rápida das condições iniciais (checa consistência; não é obrigatório na prova, mas dá confiança):
  • y(0)=-\dfrac{1}{10}+\dfrac{1}{34}+\dfrac{6}{85}=0 (confere).
  • y'(t)= -\dfrac{2}{10}e^{2t}+\dfrac{4}{34}e^{4t}-\dfrac{6}{85}\operatorname{sen} t+\dfrac{7}{85}\cos t, logo
    y'(0)=-\dfrac{2}{10}+\dfrac{4}{34}+\dfrac{7}{85}=0 (confere).
    Assim as condições iniciais são satisfeitas.

Resposta

y(t)=-\dfrac{1}{10}e^{2t}+\dfrac{1}{34}e^{4t}+\dfrac{6}{85}\cos t+\dfrac{7}{85}\operatorname{sen} t

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