Resolva o problema:
(b) usando transformada de Laplace
(b) usando transformada de Laplace
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial de segunda ordem com condições iniciais:
O que se pede: resolver a EDO (achar
) usando a transformada de Laplace.
Passo 2
Rápida revisão didática da transformada de Laplace (não pule esta parte — é o ferramental que vamos usar).
- Definição: a transformada de Laplace de uma função
(para ) é
- Linearidade:
. - Transformadas úteis que usaremos:
- Transformada de derivadas (importante para aplicar às condições iniciais): para
com transformada ,
Essas fórmulas permitem transformar a EDO em uma equação algébrica em
.
Passo 3
Aplicar a transformada de Laplace em ambos os lados da equação.
Usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais ,
, obtemos:
Usando as fórmulas para derivadas e as condições iniciais
Substituindo
e
e
, vem
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 4
Isolar
e simplificar a expressão algébrica:
Fatorizar o polinômio quadrático:
Logo
Para inverter a transformada, fazemos decomposição em frações parciais da forma
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Passo 5
Determinar
de maneira prática (avaliando em raízes e igualando coeficientes).
-
Avaliando em
(anula os termos com ): -
Avaliando em
: -
Para
e podemos usar comparação de coeficientes. Coeficiente de no lado direito deve ser zero (pois o lado esquerdo é a constante ). Expandindo os termos cúbicos, o coeficiente de é . Assim Substituindoe , então -
Para
podemos avaliar a identidade em (ou igualar coeficiente constante). Em : Substituindoe : Isolando: Calculando com os valores:portanto
Resumo dos coeficientes:
Passo 6
Agora escrevemos
com os coeficientes encontrados:
Invertemos a transformada termo a termo. Lembrando que
obtemos
Passo 7
Verificação rápida das condições iniciais (checa consistência; não é obrigatório na prova, mas dá confiança):
-
(confere). -
, logo
(confere).
Assim as condições iniciais são satisfeitas.