Resolva os problemas de valor inicial:
(a) \left\{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+y=\delta(t-2 \pi) \\\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a seguinte EDO com condição inicial e uma força impulsiva:
\begin{cases} y''(t)+y(t)=\delta(t-2\pi),\\[4pt] y(0)=0,\quad y'(0)=1. \end{cases}
O que é pedido: encontrar a função y(t) para t\ge0 (ou seja, a solução em todo o semi-eixo, incluindo o efeito do impulso em t=2\pi). As informações relevantes são:
  • o termo do lado direito é um delta de Dirac centrado em t=2\pi;
  • as condições iniciais em t=0 são y(0)=0 e y'(0)=1.]

Passo 2

Idéia de resolução (explicação didática e intuitiva). Para t\ne2\pi o termo \delta(t-2\pi) é zero, logo a EDO é homogênea:
y''+y=0 \quad\text{para } t\ne2\pi.
A presença do delta só influencia o comportamento no instante t=2\pi. Duas propriedades importantes para equações com delta:
  • a solução y(t) é contínua em t=2\pi (porque integrar y sobre um intervalo infinitesimal dá zero);
  • a derivada y'(t) pode ter um salto em t=2\pi; o salto é obtido integrando a EDO em torno de t=2\pi. Vamos calcular esse salto.
Integramos a equação de t=2\pi-\varepsilon até t=2\pi+\varepsilon e passamos ao limite \varepsilon\to0^+:
\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} y''(t)\,dt+\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon} y(t)\,dt =\int_{2\pi-\varepsilon}^{2\pi+\varepsilon}\delta(t-2\pi)\,dt.
O primeiro termo dá y'(2\pi^+)-y'(2\pi^-). O segundo termo tende a zero quando \varepsilon\to0. A integral do delta vale 1. Portanto
y'(2\pi^+)-y'(2\pi^-)=1.
Resumo: y é contínua em 2\pi e y' tem salto unitário para cima em t=2\pi.

Passo 3

Resolver para 0\le t<2\pi. A equação homogênea é
y''+y=0,
cuja solução geral é
y(t)=A\cos t + B\sin t,
onde A,B são constantes. Aplicando as condições em t=0:
y(0)=A=0,\qquad y'(t)=-A\sin t + B\cos t \Rightarrow y'(0)=B=1.
Logo, para 0\le t<2\pi temos
y(t)=\sin t.
Anotemos também as quantidades no instante imediatamente antes do impulso:
y(2\pi^-)=\sin(2\pi)=0,\qquad y'(2\pi^-)=\cos(2\pi)=1.

Passo 4

Aplicar a condição de salto em y'. Pelo resultado do Passo 2,
y'(2\pi^+)=y'(2\pi^-)+1=1+1=2.
E a continuidade de y y(2\pi^+)=y(2\pi^-)=0.
Portanto, para t>2\pi a solução da homogênea deve satisfazer as condições iniciais (no tempo t=2\pi):
y(2\pi)=0,\qquad y'(2\pi)=2.

Passo 5

Resolver para t>2\pi. Novamente a solução geral é
y(t)=C\cos t + D\sin t.
Impondo y(2\pi)=0 e y'(2\pi)=2 obtemos
C\cos(2\pi)+D\sin(2\pi)=C=0,
y'(t)=-C\sin t + D\cos t \Rightarrow y'(2\pi)=D\cos(2\pi)=D=2.
Logo, para t>2\pi,
y(t)=2\sin t.

Passo 6

Forma compacta usando a função degrau (opcional, mas útil para ver a contribuição do impulso). A resposta anterior é equivalente a escrever
y(t)=\sin t + H(t-2\pi)\,\sin(t-2\pi),
onde H é o degrau de Heaviside. Para t<2\pi o segundo termo é zero e y=\sin t; para t>2\pi temos y=\sin t+\sin(t-2\pi)=2\sin t porque \sin(t-2\pi)=\sin t. Isso confirma a solução obtida peça a peça.

Resposta

y(t)=\begin{cases} \sin t, & 0\le t\le 2\pi,\\[4pt] 2\sin t, & t>2\pi. \end{cases}
ou equivalentemente
y(t)=\sin t + H(t-2\pi)\,\sin(t-2\pi).]

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