Resolva os problemas de valor inicial:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado dá a seguinte EDO com condição inicial e uma força impulsiva:
O que é pedido: encontrar a função
para
(ou seja, a solução em todo o semi-eixo, incluindo o efeito do impulso em
). As informações relevantes são:
- o termo do lado direito é um delta de Dirac centrado em
; - as condições iniciais em
são e .]
Passo 2
Idéia de resolução (explicação didática e intuitiva). Para
o termo
é zero, logo a EDO é homogênea:
A presença do delta só influencia o comportamento no instante
. Duas propriedades importantes para equações com delta:
- a solução
é contínua em (porque integrar sobre um intervalo infinitesimal dá zero); - a derivada
pode ter um salto em ; o salto é obtido integrando a EDO em torno de . Vamos calcular esse salto.
Integramos a equação de
até
e passamos ao limite
:
O primeiro termo dá
. O segundo termo tende a zero quando
. A integral do delta vale
. Portanto
Resumo:
é contínua em
e
tem salto unitário para cima em
.
Passo 3
Resolver para
. A equação homogênea é
cuja solução geral é
onde
são constantes. Aplicando as condições em
:
Logo, para
temos
Anotemos também as quantidades no instante imediatamente antes do impulso:
Passo 4
Aplicar a condição de salto em
. Pelo resultado do Passo 2,
E a continuidade de
dá
.
Portanto, para a solução da homogênea deve satisfazer as condições iniciais (no tempo
):
Portanto, para
Passo 5
Resolver para
. Novamente a solução geral é
Impondo
e
obtemos
Logo, para
,
Passo 6
Forma compacta usando a função degrau (opcional, mas útil para ver a contribuição do impulso). A resposta anterior é equivalente a escrever
onde
é o degrau de Heaviside. Para
o segundo termo é zero e
; para
temos
porque
. Isso confirma a solução obtida peça a peça.
Resposta
ou equivalentemente