Resolva os problemas de aplicação a seguir.
(29) Uma fábrica que produz diferentes produtos precisa determinar quanto produzir de cada um para atingir exatamente as metas de faturamento e ocupação de recursos. Como cada produto consome uma quantidade fixa de cada recurso (horas de máquina, horas de mão de obra, matéria-prima, …) e gera uma receita unitária conhecida, as equações de balanço de recursos e faturamento resultam naturalmente em um sistema linear e automaticamente em uma matriz A. Quando a estrutura de produção não muda mas as metas variam nos diferentes meses do ano, é vantajoso calcular A^{-1} uma única vez e simplesmente multiplicar pelo vetor de metas de cada mês, evitando resolver o sistema do zero para cada mês.
Uma fábrica produz dois tipos de peças, P_{1} e P_{2}. Cada peça P_{1} exige 2 h de máquina e gera \mathrm{R} \ 5,00de lucro; cada peçaP_{2}exige 1 h de máquina e gera\mathrm{R} $3,00de lucro. A relação entre as quantidades produzidasx_{1}ex_{2}e as metas de horas disponíveisb_{1}e lucro alvob_{2}$ é então dada por:
Calcule A^{-1} e use-a para determinar o plano de produção \left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right] nos três meses abaixo, sem resolver o sistema do zero a cada vez, ou seja, fazendo \left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right]=A^{-1}\left[\begin{array}{l}b_{1} \\\ b_{2}\end{array}\right] :
Usar A^{-1} para obter \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}b_{1}\\[4pt]b_{2}\end{pmatrix} para cada mês acima (sem resolver o sistema do zero a cada vez).]
Passo 2
Ideia e fórmula útil (explicando passo a passo):
Se A for invertível, então a solução do sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} é \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Isso evita resolver o sistema de equações toda vez: basta multiplicar o mesmo A^{-1} por vetores \mathbf{b} diferentes.
Interpretação: produzir 4 unidades de P_{1} e 6 unidades de P_{2} atende às metas de Março.]
Passo 9
Resumo rápido e encorajador: calculamos A^{-1} uma vez (muito simples aqui porque \det(A)=1), e então para cada mês multiplicamos por \begin{pmatrix}b_{1}\\[4pt]b_{2}\end{pmatrix}. Isso é muito eficiente quando as metas mudam mês a mês — basta multiplicar vetores diferentes pelo mesmo A^{-1}. Bom trabalho — mesmo que pareça muita conta, o método é direto e reaplicável!]