Resolva os problemas de aplicação a seguir.
(29) Uma fábrica que produz diferentes produtos precisa determinar quanto produzir de cada um para atingir exatamente as metas de faturamento e ocupação de recursos. Como cada produto consome uma quantidade fixa de cada recurso (horas de máquina, horas de mão de obra, matéria-prima, …) e gera uma receita unitária conhecida, as equações de balanço de recursos e faturamento resultam naturalmente em um sistema linear e automaticamente em uma matriz A. Quando a estrutura de produção não muda mas as metas variam nos diferentes meses do ano, é vantajoso calcular A^{-1} uma única vez e simplesmente multiplicar pelo vetor de metas de cada mês, evitando resolver o sistema do zero para cada mês.
Uma fábrica produz dois tipos de peças, P_{1} e P_{2}. Cada peça P_{1} exige 2 h de máquina e gera \mathrm{R} \ 5,00 de lucro; cada peçaçP_{2} exige 1 h de máquina e geraá\mathrm{R} $3,00 de lucro. A relação entre as quantidades produzidasçãx_{1} ex_{2} e as metas de horas disponíveisíb_{1} e lucro alvob_{2}$ é então dada por:
A=\left[\begin{array}{ll} 2 & 1 \\\\ 5 & 3 \end{array}\right], \quad A\left[\begin{array}{l} x_{1} \\\ x_{2} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} m_{1} \\\ m_{2} \end{array}\right]
Calcule A^{-1} e use-a para determinar o plano de produção \left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right] nos três meses abaixo, sem resolver o sistema do zero a cada vez, ou seja, fazendo \left[\begin{array}{l}x_{1} \\\ x_{2}\end{array}\right]=A^{-1}\left[\begin{array}{l}b_{1} \\\ b_{2}\end{array}\right] :
Mês b_{1} (horas disponíveis) b_{2} (lucro alvo)
Janeiro 10 28
Fevereiro 8 22
Março 14 38

Passo 1

O enunciado fornece:
  • A matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]5 & 3\end{pmatrix},
e a relação linear
A\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}b_{1}\\[4pt]b_{2}\end{pmatrix},
onde \,x_{1} e \,x_{2} são as quantidades a produzir de P_{1} e P_{2}, respectivamente.
  • As metas (vetores \begin{pmatrix}b_{1}\\[4pt]b_{2}\end{pmatrix}) nos três meses são:
    • Janeiro: \begin{pmatrix}10\\[4pt]28\end{pmatrix}.
    • Fevereiro: \begin{pmatrix}8\\[4pt]22\end{pmatrix}.
    • Março: \begin{pmatrix}14\\[4pt]38\end{pmatrix}.
O que se pede:
  1. Calcular A^{-1}.
  2. Usar A^{-1} para obter \begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}b_{1}\\[4pt]b_{2}\end{pmatrix} para cada mês acima (sem resolver o sistema do zero a cada vez).]

Passo 2

Ideia e fórmula útil (explicando passo a passo):
  • Se A for invertível, então a solução do sistema A\mathbf{x}=\mathbf{b} é \mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}. Isso evita resolver o sistema de equações toda vez: basta multiplicar o mesmo A^{-1} por vetores \mathbf{b} diferentes.
  • Para uma matriz 2\times2
\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix},
a inversa, quando existe, é dada por
\left(\begin{pmatrix}a & b\\[4pt]c & d\end{pmatrix}\right)^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt]-c & a\end{pmatrix},
onde ad-bc é o determinante. Vou aplicar essa fórmula ao nosso A.]

Passo 3

Calcular o determinante de A:
\det(A)=2\cdot 3 - 1\cdot 5 = 6 - 5 = 1.
Como \det(A)=1\neq 0, A é invertível e podemos usar a fórmula do passo anterior.

Passo 4

Aplicando a fórmula da inversa ao caso A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]5 & 3\end{pmatrix}:
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-5 & 2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-5 & 2\end{pmatrix},
porque \det(A)=1. Então já temos A^{-1}.]

Passo 5

Breve aula sobre multiplicação matriz×vetor (para aplicar A^{-1}\mathbf{b}):
  • Se \,M=\begin{pmatrix}m_{11} & m_{12}\\[4pt]m_{21} & m_{22}\end{pmatrix} e \mathbf{v}=\begin{pmatrix}v_{1}\\[4pt]v_{2}\end{pmatrix}, então
M\mathbf{v}=\begin{pmatrix}m_{11}v_{1}+m_{12}v_{2}\\[4pt]m_{21}v_{1}+m_{22}v_{2}\end{pmatrix}.
Ou seja, cada componente do produto é o produto escalar da linha correspondente de M com o vetor \mathbf{v}.]

Passo 6

Aplicar A^{-1} ao vetor de Janeiro \begin{pmatrix}10\\[4pt]28\end{pmatrix}.
Usando A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-5 & 2\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} =A^{-1}\begin{pmatrix}10\\[4pt]28\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 10 + (-1)\cdot 28\\[4pt] -5\cdot 10 + 2\cdot 28 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 30 - 28\\[4pt] -50 + 56 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\[4pt] 6 \end{pmatrix}.
Interpretação: produzir 2 unidades de P_{1} e 6 unidades de P_{2} atende exatamente às metas de Janeiro.]

Passo 7

Aplicar A^{-1} ao vetor de Fevereiro \begin{pmatrix}8\\[4pt]22\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 8 + (-1)\cdot 22\\[4pt] -5\cdot 8 + 2\cdot 22 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 24 - 22\\[4pt] -40 + 44 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\[4pt] 4 \end{pmatrix}.
Interpretação: produzir 2 unidades de P_{1} e 4 unidades de P_{2} atende às metas de Fevereiro.]

Passo 8

Aplicar A^{-1} ao vetor de Março \begin{pmatrix}14\\[4pt]38\end{pmatrix}:
\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\cdot 14 + (-1)\cdot 38\\[4pt] -5\cdot 14 + 2\cdot 38 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 42 - 38\\[4pt] -70 + 76 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4\\[4pt] 6 \end{pmatrix}.
Interpretação: produzir 4 unidades de P_{1} e 6 unidades de P_{2} atende às metas de Março.]

Passo 9

Resumo rápido e encorajador: calculamos A^{-1} uma vez (muito simples aqui porque \det(A)=1), e então para cada mês multiplicamos por \begin{pmatrix}b_{1}\\[4pt]b_{2}\end{pmatrix}. Isso é muito eficiente quando as metas mudam mês a mês — basta multiplicar vetores diferentes pelo mesmo A^{-1}. Bom trabalho — mesmo que pareça muita conta, o método é direto e reaplicável!]

Resposta

A^{-1}=\begin{pmatrix}3 & -1\\[4pt]-5 & 2\end{pmatrix}
Janeiro: \begin{pmatrix}2\\[4pt]6\end{pmatrix}
Fevereiro: \begin{pmatrix}2\\[4pt]4\end{pmatrix}
Março: \begin{pmatrix}4\\[4pt]6\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados