Resolva os sistemas lineares a seguir por Gauss ou por Cramer, conforme o caso.
(27) \left\{\begin{array}{r}x+y-z=1 \\\\ 3 x-y-z=3 \\\ x+3 y-2 z=1\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema linear com três incógnitas x,y,z\) e três equações:
\[\begin{cases} x+y-z=1,\\[4pt] 3x-y-z=3,\\[4pt] x+3y-2z=1. \end{cases}
O que se pede: encontrar todos os valores (ou a descrição) de ((x,y,z)] que satisfazem simultaneamente essas três equações.
Informações relevantes fornecidas:
Coeficientes das equações (linha a linha): (1,1,-1), (3,-1,-1), (1,3,-2).
Termos independentes (lado direito): 1,\,3,\,1.]
Passo 2
Escolha do método: como o enunciado permite Gauss ou Cramer e temos um sistema 3\times3, ambos são possíveis. Vou usar eliminação de Gauss porque:
É um método direto por operações sobre linhas que mostra claramente dependências entre equações;
É ótimo para entender se o sistema tem uma solução única, nenhuma ou infinitas (aparece naturalmente na redução).
Agora explico, antes de aplicar, o que é eliminação de Gauss de forma simples:
Representa-se o sistema por uma matriz aumentada (coeficientes + coluna dos termos independentes).
Usa-se operações elementares nas linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, somar a múltiplas de uma linha a outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
O objetivo é transformar a matriz em forma triangular (ou escalonada) para então fazer substituição regressiva (back-substitution).
Note que a linha 3 é proporcional à linha 2: [0\\\ 2\\\ -1\\ |\\\ 0] = -\tfrac{1}{2}[0\\\ -4\\\ 2\\ |\\\ 0].
Isso indica que as duas equações representadas por R_2 e R_3 não são independentes; existe dependência linear entre as equações do sistema.
Em termos de soluções, isso costuma indicar que o sistema pode ter infinitas soluções (se consistente) ou nenhuma (se inconsistente). Aqui os termos independentes das linhas 2 e 3 são ambos zero, então não há contradição — o sistema é consistente.
Passo 6
Simplifico a linha 2 dividindo por -2 (operação permitida) para deixar a equação mais clara:
R_2 \leftarrow \dfrac{1}{-2}R_2 dá R_2 = [0\\\ 2\\\ -1\\ |\\\ 0].
Agora a matriz é
Interpretação das linhas escalonadas como equações:
Da linha 2 temos \;2y - z = 0.
Explicando: a linha 2 corresponde à equação 0\cdot x + 2y -1\cdot z = 0.
Portanto isolamos uma relação entre y e z: \;2y - z = 0 \Rightarrow z = 2y.
Da linha 1 temos \;x + y - z = 1.
Substituindo z=2y nessa equação:x + y - (2y) = 1 \quad\Rightarrow\quad x - y = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 1 + y.
Passo 8
Como restaram apenas duas equações independentes para três incógnitas, temos uma variável livre. Escolhemos parametrizar por t\in\mathbb{R} definindo y=t. Então:
\;y=t,
\;z=2y=2t,
\;x=1+y=1+t.
Explicação didática curta sobre o porquê: na eliminação de Gauss o número de pivôs (linhas não nulas) é o posto (rank) da matriz de coeficientes. Aqui o posto é 2 (menor que o número de incógnitas 3), e o sistema é consistente (linha zero com 0 no termo independente), logo há infinitas soluções com 1 parâmetro livre.
Passo 9
Para dar confiança, faço um cheque rápido substituindo a solução paramétrica em uma das equações originais (por exemplo a primeira):
x+y-z=(1+t)+t-(2t)=1+t+t-2t=1,
que coincide com o termo independente da primeira equação. As outras equações também ficam satisfeitas (podem ser checadas da mesma maneira).