Resolva os sistemas lineares a seguir por Gauss ou por Cramer, conforme o caso.
(27) \left\{\begin{array}{r}x+y-z=1 \\\\ 3 x-y-z=3 \\\ x+3 y-2 z=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear com três incógnitas x,y,z\) e três equações: \[\begin{cases} x+y-z=1,\\[4pt] 3x-y-z=3,\\[4pt] x+3y-2z=1. \end{cases}
O que se pede: encontrar todos os valores (ou a descrição) de ((x,y,z)] que satisfazem simultaneamente essas três equações.
Informações relevantes fornecidas:
  • Coeficientes das equações (linha a linha): (1,1,-1), (3,-1,-1), (1,3,-2).
  • Termos independentes (lado direito): 1,\,3,\,1.]

Passo 2

Escolha do método: como o enunciado permite Gauss ou Cramer e temos um sistema 3\times3, ambos são possíveis. Vou usar eliminação de Gauss porque:
  • É um método direto por operações sobre linhas que mostra claramente dependências entre equações;
  • É ótimo para entender se o sistema tem uma solução única, nenhuma ou infinitas (aparece naturalmente na redução).
    Agora explico, antes de aplicar, o que é eliminação de Gauss de forma simples:
  • Representa-se o sistema por uma matriz aumentada (coeficientes + coluna dos termos independentes).
  • Usa-se operações elementares nas linhas: trocar duas linhas, multiplicar uma linha por um número não nulo, somar a múltiplas de uma linha a outra. Essas operações não mudam o conjunto de soluções.
  • O objetivo é transformar a matriz em forma triangular (ou escalonada) para então fazer substituição regressiva (back-substitution).

Passo 3

Formo a matriz aumentada do sistema:
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 3 & -1 & -1 & 3\\[4pt] 1 & 3 & -2 & 1 \end{array}\right].
Cada linha corresponde a uma equação: primeira linha x+y-z=1, etc.]

Passo 4

Eliminação do coeficiente de x nas linhas 2 e 3 usando a linha 1 como pivô:
  • Faço R_2 \leftarrow R_2 - 3R_1. Calculo termo a termo:
    • 3-3\cdot1=0,
    • -1-3\cdot1=-4,
    • -1-3\cdot(-1)=-1+3=2,
    • 3-3\cdot1=0.
      Assim R_2 vira [0\\\ -4\\\ 2\\ |\\\ 0].
  • Faço R_3 \leftarrow R_3 - R_1. Calculo:
    • 1-1=0,
    • 3-1=2,
    • -2-(-1)=-2+1=-1,
    • 1-1=0.
      Assim R_3 vira [0\\\ 2\\\ -1\\ |\\\ 0].
A matriz fica
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & -4 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right].]

Passo 5

Observação sobre as linhas 2 e 3:
  • Note que a linha 3 é proporcional à linha 2: [0\\\ 2\\\ -1\\ |\\\ 0] = -\tfrac{1}{2}[0\\\ -4\\\ 2\\ |\\\ 0].
  • Isso indica que as duas equações representadas por R_2 e R_3 não são independentes; existe dependência linear entre as equações do sistema.
  • Em termos de soluções, isso costuma indicar que o sistema pode ter infinitas soluções (se consistente) ou nenhuma (se inconsistente). Aqui os termos independentes das linhas 2 e 3 são ambos zero, então não há contradição — o sistema é consistente.

Passo 6

Simplifico a linha 2 dividindo por -2 (operação permitida) para deixar a equação mais clara:
  • R_2 \leftarrow \dfrac{1}{-2}R_2 R_2 = [0\\\ 2\\\ -1\\ |\\\ 0].
    Agora a matriz é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 0 \end{array}\right].
Como R_2 e R_3 são iguais, podemos eliminar a redundância substituindo R_3 por R_3-R_2, obtendo uma linha zero:
R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \implies R_3 = [0\\\ 0\\\ 0\\ |\\\ 0].
A matriz escalonada final é
\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & -1 & 1\\[4pt] 0 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right].]

Passo 7

Interpretação das linhas escalonadas como equações:
  • Da linha 2 temos \;2y - z = 0.
    Explicando: a linha 2 corresponde à equação 0\cdot x + 2y -1\cdot z = 0.
    Portanto isolamos uma relação entre y e z: \;2y - z = 0 \Rightarrow z = 2y.
  • Da linha 1 temos \;x + y - z = 1.
    Substituindo z=2y nessa equação: x + y - (2y) = 1 \quad\Rightarrow\quad x - y = 1 \quad\Rightarrow\quad x = 1 + y.

Passo 8

Como restaram apenas duas equações independentes para três incógnitas, temos uma variável livre. Escolhemos parametrizar por t\in\mathbb{R} definindo y=t. Então:
  • \;y=t,
  • \;z=2y=2t,
  • \;x=1+y=1+t.
Explicação didática curta sobre o porquê: na eliminação de Gauss o número de pivôs (linhas não nulas) é o posto (rank) da matriz de coeficientes. Aqui o posto é 2 (menor que o número de incógnitas 3), e o sistema é consistente (linha zero com 0 no termo independente), logo há infinitas soluções com 1 parâmetro livre.

Passo 9

Para dar confiança, faço um cheque rápido substituindo a solução paramétrica em uma das equações originais (por exemplo a primeira):
x+y-z=(1+t)+t-(2t)=1+t+t-2t=1,
que coincide com o termo independente da primeira equação. As outras equações também ficam satisfeitas (podem ser checadas da mesma maneira).

Resposta

(x,y,z) = (1+t,\\ t,\\\ 2t),\quad t\in\mathbb{R}

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