Resolva os problemas:
Dado o sistema linear
x+y+z=1
x+a^{2} y+z=a^{2}
2 x+2 y+(3-a) z=b
, determine a e b para que o sistema seja possível e indeterminado.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em (x,y,z):
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\ x + a^{2}y + z = a^{2},\\\\ 2x + 2y + (3 - a)\,z = b.
Queremos que ele seja possível e indeterminado, isto é, tenha infinitas soluções. Para isso, precisamos que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero e que a classificação do sistema (posto da matriz dos coeficientes e posto da matriz aumentada) permaneça menor que 3 e igual.

Passo 2

Montamos a matriz dos coeficientes
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 1 & a^{2} & 1\\\\ 2 & 2 & 3 - a \end{pmatrix}
e calculamos seu determinante por expansão:
\det(A) =1\cdot\det\begin{pmatrix}a^{2}&1\\\ 2&3-a\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&3-a\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}1&a^{2}\\\ 2&2\end{pmatrix}.
Cada menor vale
\det\begin{pmatrix}a^{2}&1\\\ 2&3-a\end{pmatrix}=a^{2}(3-a)-2, \quad \det\begin{pmatrix}1&1\\\ 2&3-a\end{pmatrix}=3-a-2=1-a, \quad \det\begin{pmatrix}1&a^{2}\\\ 2&2\end{pmatrix}=2-2a^{2}.
Logo
\det(A)=\bigl(a^{2}(3-a)-2\bigr)-\bigl(1-a\bigr)+(2-2a^{2}) =-a^{3}+a^{2}+a-1=-(a-1)^{2}(a+1).
Para ter infinitas soluções é preciso \det(A)=0, ou seja a=1 ou a=-1.

Passo 3

Caso a=1\), o sistema fica \[\begin{cases} x+y+z=1,\\\ x+1\cdot y+z=1,\\\\ 2x+2y+(3-1)z= b, \end{cases}
isto é,
x+y+z=1,\quad x+y+z=1,\quad 2x+2y+2z=b.
A última dá x+y+z=b/2\]. Para não haver contradição é preciso \[1 = b/2 \quad\Longrightarrow\quad b=2.\] Com \(b=2 temos apenas uma equação efetiva para três variáveis, gerando infinitas soluções.

Passo 4

Caso a=-1\), o sistema é \[\begin{cases} x+y+z=1,\\\ x+(-1)^{2}y+z=1,\\\\ 2x+2y+(3-(-1))z=b, \end{cases}
ou seja
x+y+z=1,\quad x+y+z=1,\quad 2x+2y+4z=b.
A segunda é repetida e da terceira vem x+y+2z=b/2\]. Não há contradição para nenhum valor de \(b, e restam duas equações independentes para três incógnitas, garantindo infinitas soluções para todo b\in\mathbb{R}.

Resposta

Os valores de (a,b) para que o sistema seja possível e indeterminado são
\text{ou }a=1\text{ com }b=2, \quad \text{ou }a=-1\text{ com qualquer }b\in\mathbb{R}.

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