Resolva os problemas:
Resolva a equacão matricial
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 3 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 8 \end{pmatrix}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação matricial
\begin{pmatrix} 1 & 4 & 7\\\\ 2 & 3 & 6\\\\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\\ 2\\\ 8\end{pmatrix}
Isso é um sistema linear 3×3. Vamos usar eliminação de Gauss (matriz aumentada) e, depois, substituição regressiva para encontrar (x,y,z).

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e eliminamos o x nas linhas 2 e 3 usando R_2\gets R_2-2R_1 e R_3\gets R_3-2R_1:
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 7 & 2\\\\ 2 & 3 & 6 & 2\\\\ 2 & 1 & -1 & 8 \end{array} \right] \;\xrightarrow{R_2-2R_1,\;R_3-2R_1}\; \left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 7 & 2\\\\ 0 & -5 & -8 & -2\\\\ 0 & -7 & -15 & 4 \end{array} \right].

Passo 3

Agora eliminamos o y na linha 3 combinando 5R_3-7R_2:
5R_3 = [\,0,\,-35,\,-75,\;20\,],\quad 7R_2 = [\,0,\,-35,\,-56,\;-14\,],
5R_3 - 7R_2 \;\to\; [\,0,\,0,\,-19,\;34\,].
Fica a matriz
\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 4 & 7 & 2\\\\ 0 & -5 & -8 & -2\\\\ 0 & 0 & -19 & 34 \end{array} \right].

Passo 4

Aplicamos substituição regressiva:
Da linha 3:
-19\,z = 34 \quad\Longrightarrow\quad z = -\frac{34}{19}.
Da linha 2:
-5\,y - 8\,z = -2 \quad\Longrightarrow\quad -5\,y = -2 + 8\frac{34}{19} = -2 + \frac{272}{19} = -\frac{38}{19} + \frac{272}{19} = \frac{234}{19},
y = -\frac{234}{19}\,\frac{1}{5} = \frac{234}{95} = \frac{62}{19}.
Da linha 1:
x + 4\,y + 7\,z = 2 \quad\Longrightarrow\quad x = 2 - 4\frac{62}{19} - 7\Bigl(-\frac{34}{19}\Bigr) = 2 - \frac{248}{19} + \frac{238}{19} = 2 - \frac{10}{19} = \frac{28}{19}.

Resposta

x = \frac{28}{19}, \quad y = \frac{62}{19}, \quad z = -\frac{34}{19}.

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