x+y+z=1
x+a^{2} y+z=a^{2}
2 x+2 y+(3-a) z=b
, determine a e b para que o sistema seja possível e indeterminado.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear em (x,y,z):
\begin{cases} x + y + z = 1,\\\ x + a^{2}y + z = a^{2},\\\\ 2x + 2y + (3 - a)\,z = b.
Queremos que ele seja possível e indeterminado, isto é, tenha infinitas soluções. Para isso, precisamos que o determinante da matriz dos coeficientes seja zero e que a classificação do sistema (posto da matriz dos coeficientes e posto da matriz aumentada) permaneça menor que 3 e igual.
Para ter infinitas soluções é preciso \det(A)=0, ou seja a=1 ou a=-1.
Passo 3
Caso a=1\), o sistema fica
\[\begin{cases} x+y+z=1,\\\ x+1\cdot y+z=1,\\\\ 2x+2y+(3-1)z= b, \end{cases}
isto é,
x+y+z=1,\quad x+y+z=1,\quad 2x+2y+2z=b.
A última dá x+y+z=b/2\]. Para não haver contradição é preciso
\[1 = b/2 \quad\Longrightarrow\quad b=2.\]
Com \(b=2 temos apenas uma equação efetiva para três variáveis, gerando infinitas soluções.
Passo 4
Caso a=-1\), o sistema é
\[\begin{cases} x+y+z=1,\\\ x+(-1)^{2}y+z=1,\\\\ 2x+2y+(3-(-1))z=b, \end{cases}
ou seja
x+y+z=1,\quad x+y+z=1,\quad 2x+2y+4z=b.
A segunda é repetida e da terceira vem x+y+2z=b/2\]. Não há contradição para nenhum valor de \(b, e restam duas equações independentes para três incógnitas, garantindo infinitas soluções para todo b\in\mathbb{R}.
Resposta
Os valores de (a,b) para que o sistema seja possível e indeterminado são
\text{ou }a=1\text{ com }b=2, \quad \text{ou }a=-1\text{ com qualquer }b\in\mathbb{R}.