Para quais valores de k o sistema linear \left\{\begin{array}{l}k x+2 y=0 \\\ k x+k y=0\end{array}\right. admite apenas a solução trivial?

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} k x + 2y = 0,\\\ k x + k y = 0 \end{cases}
e pede para quais valores de k ele admite apenas a solução trivial (x,y)=(0,0). O conteúdo aqui é sistema linear homogêneo e sabemos que só existe solução trivial quando a matriz de coeficientes é invertível (determinante não nulo).

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma matricial \mathbf{A}\mathbf{v}=0, onde \mathbf{v}=(x,y)^\mathsf{T} e
\mathbf{A} = \begin{pmatrix} k & 2\\\ k & k \end{pmatrix}.

Passo 3

Para que o sistema homogêneo admita apenas a solução trivial, é necessário e suficiente que
\det(\mathbf{A}) \neq 0.

Passo 4

Calculamos o determinante de \mathbf{A}:
\det(\mathbf{A}) = k\cdot k \;-\; k\cdot 2 = k^2 - 2k = k(k-2).

Passo 5

Impondo \det(\mathbf{A})\neq 0, obtemos
k(k-2)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad k\neq 0 \quad\text{e}\quad k\neq 2.

Resposta

k \neq 0 e k \neq 2.

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