Resolva os problemas:
Determine o valor de k para que o sistema
-3 x+2 y=3-k
4 x-22=2
-4 y+3 z=1
seja possível e indeterminado.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em três incógnitas x,y,z\) \[\begin{cases} -3x + 2y + 0z = 3 - k,\\\\ 4x + 0y - 2z = 2,\\\\ 0x - 4y + 3z = 1, \end{cases}
e pede o valor de k\] para que o sistema seja possível e indeterminado. Vamos usar o Teorema de Rouché–Capelli, que diz que o sistema tem infinitas soluções se, e somente se, \[\rank(A) \;=\; \rank\bigl([A\mid b]\bigr)\;<\;3,\] onde \(A é a matriz de coeficientes e [A\mid b] é a matriz aumentada.

Passo 2

Escrevemos a matriz de coeficientes A e o vetor de termos independentes b:
A = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 0\\\\ 4 & 0 & -2\\\\ 0 & -4 & 3 \end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix} 3 - k\\\\ 2\\\\ 1 \end{pmatrix}.

Passo 3

Calculamos o determinante de A. Como \det(A)=0, teremos \rank(A)<3.
\det(A) = -3\det\!\begin{pmatrix}0 & -2\\\ -4 & 3\end{pmatrix} -2\det\!\begin{pmatrix}4 & -2\\\ 0 & 3\end{pmatrix} = -3(0\cdot3 -(-2)(-4)) -2(4\cdot3 -(-2)\cdot0) = -3(-8) - 2\cdot12 = 24 - 24 = 0.

Passo 4

Para ver que \rank(A)=2, basta encontrar um menor de ordem 2 não nulo, por exemplo
\det\begin{pmatrix} -3 & 0\\\\ 4 & -2 \end{pmatrix} = (-3)(-2) - 0\cdot4 = 6 \neq 0.

Passo 5

Como \rank(A)=2\), existe uma relação linear entre linhas de \(A\). Procuramos \(\alpha,\beta,\gamma\) tais que \[\alpha\,( -3,2,0 )+\beta\,(4,0,-2)+\gamma\,(0,-4,3)=(0,0,0).
Das componentes em x,y,z obtém-se
\begin{cases} -3\alpha +4\beta =0,\\\\ 2\alpha -4\gamma =0,\\\\ -2\beta +3\gamma =0, \end{cases}
cuja solução não trivial é (\alpha=4,\beta=3,\gamma=2].

Passo 6

Para que o sistema seja consistente, a mesma combinação deve anular os termos independentes:
4(3-k)+3\cdot2+2\cdot1=0 \;\;\Longrightarrow\;\; 12 -4k +6 +2 =0 \;\;\Longrightarrow\;\; 20 -4k = 0 \;\;\Longrightarrow\;\; k = 5.

Resposta

O sistema é possível e indeterminado exatamente para
k = 5.

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