Resolva os Problemas em questão
Um sistema vibrante composto por massa, mola e amortecedor apresenta uma massa de 60 kg e uma rigidez de 35 \mathrm{~N} / \mathrm{mm}. O amortecedor possui uma constante de amortecimento viscoso que equivale a 30 \% da constante de amortecimento crítico. A partir destas informações, determine: a) o fator de amortecimento; b) A constante de amortecimento crítico do sistema; c) a frequência natural amortecida; d) o decremento logarítmico; e) a razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (peguei a informação visual de que o sistema é subamortecido da figura enviada):
  • Massa: \,m=60\\ \mathrm{kg}.
  • Rigidez da mola: \,k=35\\ \mathrm{N/mm}.
  • A constante de amortecimento efetiva do sistema é 30\% da constante de amortecimento crítico, ou seja \,c=0{,}30\,c_c.
O enunciado pede:
(a) o fator de amortecimento (razão entre c e c_c);
(b) a constante de amortecimento crítico c_c;
(c) a frequência natural amortecida;
(d) o decremento logarítmico;
(e) a razão entre duas amplitudes consecutivas da oscilação.

Passo 2

Primeiro passo técnico: colocar todas as unidades no mesmo sistema (SI). A rigidez foi dada em \mathrm{N/mm}. Converter para \mathrm{N/m}:
35\\ \mathrm{N/mm}=35\times 10^{3}\\ \mathrm{N/m}=35000\\ \mathrm{N/m}.
Explicação curta: 1\\ \mathrm{N/mm}=1000\\ \mathrm{N/m} porque 1\\ \mathrm{mm}=10^{-3}\\ \mathrm{m}.

Passo 3

Relembrando fórmulas fundamentais (mini-aula):
  • Frequência natural não amortecida (rad/s): \displaystyle \omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}. Aqui \omega_n é a velocidade angular natural, k é a rigidez (N/m) e m a massa (kg).
  • Constante de amortecimento crítico: \displaystyle c_c=2m\omega_n. Substituindo \omega_n obtém-se a forma equivalente
\displaystyle c_c=2\sqrt{k\,m}.
Motivo: c_c é o valor de c que deixa o sistema no limite entre amortecimento crítico e superamortecido; vem da solução da equação diferencial do oscilador massa-mola-amortecedor.
Vamos calcular c_c numericamente:
k\,m=35000\times 60=2{,}100{,}000,
\sqrt{k\,m}=\sqrt{2{,}100{,}000}\approx 1449{,}137674,
c_c=2\sqrt{k\,m}\approx 2\times 1449{,}137674\approx 2898{,}275349\\ \mathrm{N\cdot s/m}.

Passo 4

(a) Fator de amortecimento (razão) \zeta: por enunciado \,c=0{,}30\,c_c. O fator de amortecimento é definido por
\zeta=\frac{c}{c_c}.
Logo, diretamente,
\zeta=0{,}30.
Além disso, o valor numérico da constante de amortecimento real é
c=0{,}30\,c_c\approx 0{,}30\times 2898{,}275349\approx 869{,}482605\\ \mathrm{N\cdot s/m}.

Passo 5

Calcular a frequência natural não amortecida \omega_n (passo intermediário para obter a frequência amortecida):
\omega_n=\sqrt{\frac{k}{m}}=\sqrt{\frac{35000}{60}}=\sqrt{583{,}333\ldots}\approx 24{,}166092\\ \mathrm{rad/s}.
Explicação: \omega_n é a frequência angular com que o sistema oscilaria se não houvesse amortecimento.

Passo 6

(c) Frequência natural amortecida \omega_d. Para um sistema subamortecido ( 0<\zeta<1) a frequência amortecida é
\omega_d=\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}.
Substituindo números:
\omega_d=24{,}166092\sqrt{1-0{,}30^{2}}=24{,}166092\sqrt{0{,}91}\approx 23{,}054450\\ \mathrm{rad/s}.
Se preferir em hertz (ciclos por segundo),
f_d=\frac{\omega_d}{2\pi}\approx \frac{23{,}054450}{2\pi}\approx 3{,}6688\\ \mathrm{Hz}.
Explicação: \omega_d é a velocidade angular da oscilação que realmente ocorre quando há amortecimento; é menor que \omega_n porque o amortecimento “puxa” a frequência para baixo.

Passo 7

(d) Decremento logarítmico \delta. Para um sistema subamortecido vale a relação
\delta=\frac{2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^{2}}}.
Substituindo \zeta=0{,}30:
\delta=\frac{2\pi\times 0{,}30}{\sqrt{1-0{,}30^{2}}}=\frac{0{,}6\pi}{\sqrt{0{,}91}}\approx \frac{1{,}8849556}{0{,}9539392}\approx 1{,}976514.
Explicação: \delta mede a taxa de decaimento das amplitudes entre picos separados por um período; é a diferença logarítmica entre amplitudes consecutivas (em uma volta).

Passo 8

(e) Razão entre duas amplitudes consecutivas (por definição do decremento):
\ln\!\left(\frac{A_n}{A_{n+1}}\right)=\delta \quad\Rightarrow\quad \frac{A_n}{A_{n+1}}=e^{\delta}.
Substituindo \delta\approx 1{,}976514:
\frac{A_n}{A_{n+1}}=e^{1{,}976514}\approx 7{,}22.
Interpretação: cada pico sucessivo tem amplitude cerca de 7{,}22 vezes menor que o pico anterior (ou, dito de outro modo, o pico decai para cerca de 1/7{,}22 do valor anterior após um período).

Resposta

(a) \zeta=0{,}30
(b) c_c\approx 2898{,}28\\ \mathrm{N\cdot s/m}
(c) \omega_d\approx 23{,}05445\\ \mathrm{rad/s} \,(\,f_d\approx 3{,}6688\\ \mathrm{Hz}\,)
(d) \delta\approx 1{,}97651
(e) \dfrac{A_n}{A_{n+1}}\approx 7{,}22

Exercícios relacionados