Resolva os Problemas em questão
Um sistema vibrante composto por massa, mola e amortecedor apresenta uma massa de 60 kg e uma rigidez de
. O amortecedor possui uma constante de amortecimento viscoso que equivale a
da constante de amortecimento crítico. A partir destas informações, determine: a) o fator de amortecimento; b) A constante de amortecimento crítico do sistema; c) a frequência natural amortecida; d) o decremento logarítmico; e) a razão de duas amplitudes consecutivas da oscilação.
Um sistema vibrante composto por massa, mola e amortecedor apresenta uma massa de 60 kg e uma rigidez de
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (peguei a informação visual de que o sistema é subamortecido da figura enviada):
- Massa:
. - Rigidez da mola:
. - A constante de amortecimento efetiva do sistema é
da constante de amortecimento crítico, ou seja .
O enunciado pede:
(a) o fator de amortecimento (razão entre e
);
(b) a constante de amortecimento crítico ;
(c) a frequência natural amortecida;
(d) o decremento logarítmico;
(e) a razão entre duas amplitudes consecutivas da oscilação.
(a) o fator de amortecimento (razão entre
(b) a constante de amortecimento crítico
(c) a frequência natural amortecida;
(d) o decremento logarítmico;
(e) a razão entre duas amplitudes consecutivas da oscilação.
Passo 2
Primeiro passo técnico: colocar todas as unidades no mesmo sistema (SI). A rigidez foi dada em
. Converter para
:
Explicação curta:
porque
.
Passo 3
Relembrando fórmulas fundamentais (mini-aula):
- Frequência natural não amortecida (rad/s):
. Aqui é a velocidade angular natural, é a rigidez (N/m) e a massa (kg). - Constante de amortecimento crítico:
. Substituindo obtém-se a forma equivalente
Motivo:
é o valor de
que deixa o sistema no limite entre amortecimento crítico e superamortecido; vem da solução da equação diferencial do oscilador massa-mola-amortecedor.
Vamos calcular
numericamente:
Passo 4
(a) Fator de amortecimento (razão)
: por enunciado
. O fator de amortecimento é definido por
Logo, diretamente,
Além disso, o valor numérico da constante de amortecimento real é
Passo 5
Calcular a frequência natural não amortecida
(passo intermediário para obter a frequência amortecida):
Explicação:
é a frequência angular com que o sistema oscilaria se não houvesse amortecimento.
Passo 6
(c) Frequência natural amortecida
. Para um sistema subamortecido (
) a frequência amortecida é
Substituindo números:
Se preferir em hertz (ciclos por segundo),
Explicação:
é a velocidade angular da oscilação que realmente ocorre quando há amortecimento; é menor que
porque o amortecimento “puxa” a frequência para baixo.
Passo 7
(d) Decremento logarítmico
. Para um sistema subamortecido vale a relação
Substituindo
:
Explicação:
mede a taxa de decaimento das amplitudes entre picos separados por um período; é a diferença logarítmica entre amplitudes consecutivas (em uma volta).
Passo 8
(e) Razão entre duas amplitudes consecutivas (por definição do decremento):
Substituindo
:
Interpretação: cada pico sucessivo tem amplitude cerca de
vezes menor que o pico anterior (ou, dito de outro modo, o pico decai para cerca de
do valor anterior após um período).
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(b)
(c)
(d)
(e)