Um partícula de massa \boldsymbol{m}=\mathbf{1 ~ k g} se desloca no plano x y com as coordenadas:
\begin{aligned} & x(t)=6 t^{2}-3 t \\\ & y(t)=t^{3}-4 t^{2}-6 t-3 \end{aligned}
onde o tempo é medido em segundos e a distância em metros.
Calcule as forças nas direções x e y em Newtons.

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e pede as forças nas direções x e y:
  • Massa da partícula: m=1\\ \text{kg}.
  • Coordenadas como funções do tempo:
x(t)=6t^{2}-3t
y(t)=t^{3}-4t^{2}-6t-3
  • Tempo em segundos e distância em metros.
  • Pergunta: calcular as forças nas direções x e y (em Newtons).

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (Lei de Newton): a força resultante sobre uma partícula é a massa vezes a aceleração. Escrevendo em forma de componentes:
\vec{F}=m\vec{a}
Cada componente satisfaz
F_x = m\,a_x,\qquad F_y = m\,a_y.
Aqui:
  • \vec{F}=(F_x,F_y) é o vetor força;
  • m é a massa (em kg);
  • \vec{a}=(a_x,a_y) é o vetor aceleração (em \text{m}/\text{s}^{2}).
    A aceleração é a segunda derivada temporal da posição, isto é:
a_x(t)=\frac{d^{2}x}{dt^{2}},\qquad a_y(t)=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}.

Passo 3

Relembrando regras de derivação que usaremos (aulas rápidas):
  • Regra do poder (power rule): para f(t)=t^{n},
\frac{d}{dt}t^{n}=n\,t^{n-1}.
  • Derivada de uma constante é zero.
  • Derivada é linear: \dfrac{d}{dt}(a f+b g)=a f'+b g' com a,b constantes.
Vamos calcular as derivadas de x(t). Primeiro a velocidade em x:
x'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(6t^{2}-3t\bigr).
Aplicando as regras:
\frac{d}{dt}(6t^{2})=6\cdot 2t=12t, \qquad \frac{d}{dt}(-3t)=-3.
Portanto
x'(t)=12t-3.
Agora a aceleração em x (segunda derivada):
x''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(12t-3\bigr).
Derivando:
x''(t)=12.

Passo 4

Agora calculamos as derivadas de y(t). Primeiro a velocidade em y:
y'(t)=\frac{d}{dt}\bigl(t^{3}-4t^{2}-6t-3\bigr).
Aplicando o power rule e a linearidade:
\frac{d}{dt}(t^{3})=3t^{2},\qquad \frac{d}{dt}(-4t^{2})=-8t,\qquad \frac{d}{dt}(-6t)=-6,\qquad \frac{d}{dt}(-3)=0.
Logo
y'(t)=3t^{2}-8t-6.
Segunda derivada (aceleração em y):
y''(t)=\frac{d}{dt}\bigl(3t^{2}-8t-6\bigr).
Derivando termo a termo:
y''(t)=6t-8.

Passo 5

Agora aplicamos F_x=m a_x e F_y=m a_y. Como m=1\\ \text{kg}:
F_x(t)=1\cdot x''(t)=1\cdot 12=12\\ \text{N}.
F_y(t)=1\cdot y''(t)=1\cdot(6t-8)=6t-8\\ \text{N}.
Interpretação curta: a força em x é constante (porque a aceleração em x é constante), e a força em y depende do tempo linearmente.

Passo 6

Cheque rápido de unidades: x'' e y'' têm unidades de \text{m}/\text{s}^{2}; multiplicando por m em kg obtém-se Newtons (N), que é a unidade correta para força. Tudo consistente.

Resposta

F_x(t)=12\\ \text{N}
F_y(t)=6t-8\\ \text{N}

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