Um partícula de massa
se desloca no plano
com as coordenadas:
onde o tempo é medido em segundos e a distância em metros.
Calcule as forças nas direções
e
em Newtons.
Calcule as forças nas direções
Passo 1
O enunciado fornece as seguintes informações e pede as forças nas direções
e
:
- Massa da partícula:
. - Coordenadas como funções do tempo:
- Tempo em segundos e distância em metros.
- Pergunta: calcular as forças nas direções
e (em Newtons).
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (Lei de Newton): a força resultante sobre uma partícula é a massa vezes a aceleração. Escrevendo em forma de componentes:
Cada componente satisfaz
Aqui:
-
é o vetor força; -
é a massa (em kg); -
é o vetor aceleração (em ).
A aceleração é a segunda derivada temporal da posição, isto é:
Passo 3
Relembrando regras de derivação que usaremos (aulas rápidas):
- Regra do poder (power rule): para
,
- Derivada de uma constante é zero.
- Derivada é linear:
com constantes.
Vamos calcular as derivadas de
. Primeiro a velocidade em
:
Aplicando as regras:
Portanto
Agora a aceleração em
(segunda derivada):
Derivando:
Passo 4
Agora calculamos as derivadas de
. Primeiro a velocidade em
:
Aplicando o power rule e a linearidade:
Logo
Segunda derivada (aceleração em
):
Derivando termo a termo:
Passo 5
Agora aplicamos
e
. Como
:
Interpretação curta: a força em
é constante (porque a aceleração em
é constante), e a força em
depende do tempo linearmente.
Passo 6
Cheque rápido de unidades:
e
têm unidades de
; multiplicando por
em kg obtém-se Newtons (N), que é a unidade correta para força. Tudo consistente.