*6.44. Determinar a tensão de flexão máxima de tração e compressão na viga se ela estiver submetida a um momento
. pés.
Passo 1
O enunciado pede: determinar a tensão de flexão máxima de tração e a tensão de flexão máxima de compressão na viga quando submetida a um momento
.
Informações que o enunciado dá:
- Momento aplicado:
.
Informações que são necessárias para obter uma resposta numérica, mas que NÃO foram fornecidas no enunciado:
- Geometria da seção transversal da viga (tipo: retangular, circular, I, etc.) e suas dimensões;
- Posição do eixo neutro (normalmente o centróide para seções simétricas);
- Momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro,
; - Distância do eixo neutro até a fibra mais distante (extrema) da seção,
.
Sem esses dados não é possível calcular um valor numérico para as tensões.
Passo 2
Apresentando a fórmula que usamos e o que cada símbolo significa.
A fórmula fundamental da flexão (hipótese das seções planas e pequena deformação) é
onde:
-
é a tensão normal por flexão na fibra que está a uma distância do eixo neutro (positivo conforme a convenção de sinal que escolhermos); -
é o momento fletor interno na seção (o mesmo que o aplicado, em valor absoluto); -
é o momento de inércia (segunda área) da seção transversal em relação ao eixo neutro (unidade por ex. ); -
é a distância da fibra ao eixo neutro (unidade por ex. ).
A tensão máxima (em módulo) ocorre na fibra mais afastada do eixo neutro, ou seja em
. Logo a tensão máxima é
- Se for pedida a tensão de tração máxima, toma-se
na fibra que fica em tração (sinal negativo ou positivo depende da convenção). - A tensão de compressão máxima tem o mesmo módulo
mas sinal oposto à da tração (para flexão pura e seção linear elástica).
Importante sobre sinais e sentido de tração/compressão:
- Identificar qual fibra fica tracionada e qual fica comprimida depende do sentido do momento (se a viga “sag” — curvatura côncava para cima — a fibra inferior fica em tração e a superior em compressão; para “hogging” é o inverso). Para módulo das tensões, usamos
.
Passo 3
Converter e deixar
em unidades práticas (se for usar polegadas nas dimensões da seção é usual trabalhar com
e tensão em
).
Dado
. Converter para
:
Se preferir trabalhar em
:
.
Observação de unidade final:
- Se
estiver em e em , então com em dá tensão em . Para obter multiplica-se por .
Passo 4
Explicar como obter
e
. Isso é crucial — vou mostrar as fórmulas para seções comuns e como montar a conta passo a passo.
Seção retangular (largura
, altura
, neutro no meio):
Logo
Exemplo ilustrativo (NÃO é a resposta do seu enunciado, é só para aprender o procedimento):
- Suponha
, . Então
Isto mostra passo a passo como aplicar a fórmula quando as dimensões são conhecidas.
Seção circular maciça (diâmetro
):
Exemplo ilustrativo: se
,
Seção I ou perfis compostos:
- Divide a seção em retângulos (flanges e alma), calcule
de cada um em relação ao seu centróide com a fórmula do retângulo e use o teorema dos eixos paralelos para somar: , onde é a distância entre o centróide local e o centróide global. - Encontre
como a distância do eixo neutro (centróide) até a fibra mais distante. - Depois aplique
.
Passo 5
Como identificar qual fibra está em tração e qual em compressão (passo a passo prático na prova):
- Desenhe o esquema da viga e o sentido do momento
(por exemplo, um momento que faz a viga “curvar para baixo” no meio — sagging — é o caso mais comum). - Coloque um pequeno elemento da viga e desenhe a curvatura: a superfície que se estica é a que fica em tração; a que se “aperta” é a que fica em compressão.
- Se preferir regra mnemônica: com momento positivo (convencionalmente sagging), a fibra inferior está em tração e a superior em compressão. (Mas confirme sempre conforme a convenção do seu professor/exame.)
Passo 6
Resumo prático para aplicar na prova (passo a passo que você pode decorar e aplicar rápido):
- Identifique a seção transversal e anote dimensões (usar polegadas facilita).
- Calcule
em relação ao eixo neutro (usar fórmulas padrão e, se necessário, teorema dos eixos paralelos). - Determine
, a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada. - Converta
para unidades compatíveis (se usar polegadas: ). - Calcule
. Esse é o módulo das tensões máxima de tração e compressão; o sinal indica qual é tração/compressão. - Informe as unidades (ex.:
ou ).
Passo 7
Aplicação direta ao enunciado: por que NÃO posso dar um número final agora.
Falta a informação essencial: a geometria da seção transversal (logo não é possível calcular o momento de inércia
nem
). Sem
e
não há cálculo numérico de
. Posso, entretanto, deixar a expressão pronta em função de
e
e também dei exemplos práticos de cálculo para seções retangular e circular para você entender o procedimento.
Resposta
Não é possível determinar numericamente as tensões sem os dados da seção transversal (falta
e
).
Fórmula geral (com ):
Fórmula geral (com