*6.44. Determinar a tensão de flexão máxima de tração e compressão na viga se ela estiver submetida a um momento M=4 \mathrm{kip}. pés.

Passo 1

O enunciado pede: determinar a tensão de flexão máxima de tração e a tensão de flexão máxima de compressão na viga quando submetida a um momento M=4\\ \mathrm{kip\cdot ft}.
Informações que o enunciado dá:
  • Momento aplicado: M=4\\ \mathrm{kip\cdot ft}.
Informações que são necessárias para obter uma resposta numérica, mas que NÃO foram fornecidas no enunciado:
  • Geometria da seção transversal da viga (tipo: retangular, circular, I, etc.) e suas dimensões;
  • Posição do eixo neutro (normalmente o centróide para seções simétricas);
  • Momento de inércia da seção em relação ao eixo neutro, I;
  • Distância do eixo neutro até a fibra mais distante (extrema) da seção, c.
    Sem esses dados não é possível calcular um valor numérico para as tensões.

Passo 2

Apresentando a fórmula que usamos e o que cada símbolo significa.
A fórmula fundamental da flexão (hipótese das seções planas e pequena deformação) é
\sigma_x=\frac{M\,y}{I},
onde:
  • \sigma_x é a tensão normal por flexão na fibra que está a uma distância \,y do eixo neutro (positivo conforme a convenção de sinal que escolhermos);
  • M é o momento fletor interno na seção (o mesmo que o aplicado, em valor absoluto);
  • I é o momento de inércia (segunda área) da seção transversal em relação ao eixo neutro (unidade por ex. \mathrm{in}^4);
  • y é a distância da fibra ao eixo neutro (unidade por ex. \mathrm{in}).
A tensão máxima (em módulo) ocorre na fibra mais afastada do eixo neutro, ou seja em y=c. Logo a tensão máxima é
\sigma_{\max}=\frac{M\,c}{I}.
  • Se for pedida a tensão de tração máxima, toma-se \sigma na fibra que fica em tração (sinal negativo ou positivo depende da convenção).
  • A tensão de compressão máxima tem o mesmo módulo \dfrac{M c}{I} mas sinal oposto à da tração (para flexão pura e seção linear elástica).
Importante sobre sinais e sentido de tração/compressão:
  • Identificar qual fibra fica tracionada e qual fica comprimida depende do sentido do momento (se a viga “sag” — curvatura côncava para cima — a fibra inferior fica em tração e a superior em compressão; para “hogging” é o inverso). Para módulo das tensões, usamos \dfrac{M c}{I}.

Passo 3

Converter e deixar M em unidades práticas (se for usar polegadas nas dimensões da seção é usual trabalhar com \mathrm{kip\cdot in} e tensão em \mathrm{ksi}).
Dado M=4\\ \mathrm{kip\cdot ft}. Converter para \mathrm{kip\cdot in}:
4\\ \mathrm{kip\cdot ft}=4\times 12\\ \mathrm{kip\cdot in}=48\\ \mathrm{kip\cdot in}.
Se preferir trabalhar em \mathrm{lb\cdot in}: 48\\ \mathrm{kip\cdot in}=48{,}000\\ \mathrm{lb\cdot in}.
Observação de unidade final:
  • Se I estiver em \mathrm{in}^4 e c em \mathrm{in}, então \dfrac{M c}{I} com M em \mathrm{kip\cdot in} dá tensão em \mathrm{kip/in}^2=\mathrm{ksi}. Para obter \mathrm{psi} multiplica-se por 1000.

Passo 4

Explicar como obter I e c. Isso é crucial — vou mostrar as fórmulas para seções comuns e como montar a conta passo a passo.
Seção retangular (largura b, altura h, neutro no meio):
I=\frac{b h^3}{12},\qquad c=\frac{h}{2}.
Logo
\sigma_{\max}=\frac{M\,c}{I}=\frac{M\,(h/2)}{b h^3/12}=\frac{6M}{b h^2}.
Exemplo ilustrativo (NÃO é a resposta do seu enunciado, é só para aprender o procedimento):
  • Suponha b=4\\ \mathrm{in}, h=12\\ \mathrm{in}. Então
I=\frac{4\times 12^3}{12}=4\times 12^2=4\times 144=576\\ \mathrm{in}^4,
c=\frac{12}{2}=6\\ \mathrm{in},
\sigma_{\max}=\frac{48\\ \mathrm{kip\cdot in}\times 6\\ \mathrm{in}}{576\\ \mathrm{in}^4}=\frac{288}{576}\\ \mathrm{ksi}=0{,}5\\ \mathrm{ksi}=500\\ \mathrm{psi}.
Isto mostra passo a passo como aplicar a fórmula quando as dimensões são conhecidas.
Seção circular maciça (diâmetro d):
I=\frac{\pi d^4}{64},\qquad c=\frac{d}{2},
\sigma_{\max}=\frac{M\,c}{I}=\frac{M\,(d/2)}{\pi d^4/64}=\frac{32M}{\pi d^3}.
Exemplo ilustrativo: se d=6\\ \mathrm{in},
I=\frac{\pi 6^4}{64}=\frac{\pi\cdot 1296}{64}\approx63{,}59\\ \mathrm{in}^4,
c=3\\ \mathrm{in},
\sigma_{\max}=\frac{48\times 3}{63{,}59}\\ \mathrm{ksi}\approx2{,}26\\ \mathrm{ksi}=2260\\ \mathrm{psi}.
Seção I ou perfis compostos:
  • Divide a seção em retângulos (flanges e alma), calcule I de cada um em relação ao seu centróide com a fórmula do retângulo e use o teorema dos eixos paralelos para somar: I_\text{total}=\sum (I_\text{local}+A d^2), onde d é a distância entre o centróide local e o centróide global.
  • Encontre c como a distância do eixo neutro (centróide) até a fibra mais distante.
  • Depois aplique \sigma_{\max}=\dfrac{M c}{I}.

Passo 5

Como identificar qual fibra está em tração e qual em compressão (passo a passo prático na prova):
  1. Desenhe o esquema da viga e o sentido do momento M (por exemplo, um momento que faz a viga “curvar para baixo” no meio — sagging — é o caso mais comum).
  2. Coloque um pequeno elemento da viga e desenhe a curvatura: a superfície que se estica é a que fica em tração; a que se “aperta” é a que fica em compressão.
  3. Se preferir regra mnemônica: com momento positivo (convencionalmente sagging), a fibra inferior está em tração e a superior em compressão. (Mas confirme sempre conforme a convenção do seu professor/exame.)

Passo 6

Resumo prático para aplicar na prova (passo a passo que você pode decorar e aplicar rápido):
  1. Identifique a seção transversal e anote dimensões (usar polegadas facilita).
  2. Calcule I em relação ao eixo neutro (usar fórmulas padrão e, se necessário, teorema dos eixos paralelos).
  3. Determine c, a distância do eixo neutro até a fibra mais afastada.
  4. Converta M para unidades compatíveis (se usar polegadas: \mathrm{kip\cdot in}).
  5. Calcule \sigma_{\max}=\dfrac{M c}{I}. Esse é o módulo das tensões máxima de tração e compressão; o sinal indica qual é tração/compressão.
  6. Informe as unidades (ex.: \mathrm{ksi} ou \mathrm{psi}).

Passo 7

Aplicação direta ao enunciado: por que NÃO posso dar um número final agora.
Falta a informação essencial: a geometria da seção transversal (logo não é possível calcular o momento de inércia I nem c). Sem I e c não há cálculo numérico de \sigma_{\max}. Posso, entretanto, deixar a expressão pronta em função de I e c e também dei exemplos práticos de cálculo para seções retangular e circular para você entender o procedimento.

Resposta

Não é possível determinar numericamente as tensões sem os dados da seção transversal (falta I e c).
Fórmula geral (com M=4\\ \mathrm{kip\cdot ft}=48\\ \mathrm{kip\cdot in}):
\boxed{\sigma_{\max}=\frac{M\,c}{I}=\frac{48\\ \mathrm{kip\cdot in}\times c\\ (\mathrm{in})}{I\\ (\mathrm{in}^4)}\\ }.

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