Resolva os problemas a seguir:
Quantos termos racionais aparecem no desenvolvimento de
?
Quantos termos racionais aparecem no desenvolvimento de
Passo 1
O que o enunciado pede: contar quantos termos racionais aparecem no desenvolvimento de
.
Informações relevantes dadas:
- A expressão a desenvolver é
. - O expoente é
, um número par. - No desenvolvimento via binômio de Newton surgirão
termos individuais antes de qualquer soma de termos semelhantes (índices ).
Passo 2
Aplicar o binômio de Newton: cada termo geral do desenvolvimento é dado por
para
. Aqui
é o coeficiente binomial (um número racional) e
é a parte com radicais.
Passo 3
Entender quando um termo é racional: escrever as potências de
e
em forma de potências de
e
multiplicadas por possíveis radicais.
Se
é inteiro,
e
. Assim o termo geral vale
Se
e
forem inteiros simultaneamente, então o fator envolvendo
e
é uma potência inteira de
multiplicada por uma potência inteira de
, logo racional. Caso contrário sobra um fator
,
ou
, tornando o termo irracional.
Passo 4
Analisar as paridades:
é inteiro exatamente quando
é par;
é inteiro exatamente quando
é par. Como
é par,
e
têm sempre a mesma paridade: se
é par então
é par; se
é ímpar então
é ímpar. Portanto os dois expoentes são inteiros simultaneamente exatamente quando
é par.
Passo 5
Conclusão sobre quais
geram termos racionais: todos os
pares entre
e
produzem termos racionais; todos os
ímpares produzem termos irracionais (com fator
,
ou
).
Passo 6
Contar quantos
pares existem entre
e
inclusive. Escrever
com
. Assim há
valores possíveis de
, logo há
valores de
pares.
Passo 7
Portanto, no desenvolvimento de
aparecem
termos racionais (um para cada
par de
a
).